如何學好數學

劉晨曦

【摘要】文章以平面幾何的學習為例，對數學的學習方法進行探析，主要從平面幾何知識概述、平面幾何的難點以及學習過程中的問題點、對應的建議等方面進行分析和闡述。

【關鍵詞】數學學習；平面幾何；學習難點；現存問題點；對策方案

一、引言

平面幾何主要考查的是學生的空間幾何想象能力，在試卷中出現的一般都是證明類問題，一般設置難度不大，但對學生的想象能力與空間思維能力要求較高。在考試過程中如果學生找不準解題的核心或思維能力過差而需要解題的時間過長，會造成平面幾何分數過低，影響后面做題的情況。尤其相較于函數等內容，平面幾何更偏重想象與證明邏輯，想象好了就容易得分，缺乏思維的創造能力就會得分困難。

二、平面幾何知識概述

（一）平面幾何概念

從概念上來講，平面幾何是指歐幾里得的著作《幾何原本》中構建的幾何學，也稱為“歐幾里得幾何”，涵蓋了平面上圓錐曲線以及直線的各種性質，包括幾何結構與度量性質（包括面積、長度、角度）。雖然在學習過程中各性質都有具體的公式，但這些公式往往是由解析幾何構造出來，而非公理化形式。

（二）平面幾何常用知識點

一般來說，初中學習過程中包括點、線、面的關系與內容。具體來說有以下內容。

相交線與平行線：對頂角的性質；垂線的性質；平行公理；平行線的三條性質與三項判定。

三角形：中線、高線；三邊關系；穩定性；內角和180度；外角性質；多邊形的性質（外角和360度、內角和公式、對角線條數公式）。

全等三角形：判定方法（SSS、ASA、SAS、HL）、角平分線與判定、軸對稱（軸對稱圖形、線段的垂直平分線、軸對稱變換、等腰三角形、等邊三角形等）。

勾股定理： ，其中 、 分別為直角邊， 為斜邊；逆定理（三角形三邊滿足 的話，三角形是直角三角形）。

四邊形：內角和與外角和、性質與判定（平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形）、中位線（三角形與梯形）、輔助線。

圓：弦、直徑、弧（優弧、劣弧）、半圓、圓心角性質、垂徑定理（垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧）及推論、點線與圓的位置關系的判斷、切線等。

高中部分：射影定理、中線定理、垂線定理、角平分線定理等，主要作為解析幾何題出現在高中試卷上，尤其圓錐曲線，以幾何知識為出發點，考查計算能力。

三、平面幾何的難點以及學習過程中容易出現的問題點

（一）學習平面幾何時的難點

學生推導能力薄弱。早在小學，學生就已經對平面幾何的相關定理有所了解，但小學的幾何學習都停留在借助直觀觀察以及定理背誦來加以學習，而不是通過推導。所以學生在初中進一步系統學習平面幾何時往往會在推導過程中產生較大難點，很容易出現學習平面幾何只為了做題但一到問推導的環節卻一問三不知的情況。尤其初中階段的推導思維沒有打好基礎，很難在高中的深入學習中得到更好發揮。

平面幾何中的知識點較為繁雜，尤其是幾何題目中將三角形與圓結合到一起時，難度大幅提高。這類題目尤其考查學生在各定理之間的思維轉換，并需要有連貫的思維方式。而高中階段的平面幾何比起初中來說引入了更多的平面幾何知識，同時還需要學生具有較強的計算能力，比如學生需要基于向量進行更多轉換，并進行各圓錐曲線的公式計算，難度驟增。

（二）學習過程中的問題點

學生缺乏興趣與信心。興趣是學生學習的最好老師，只有具備了興趣才有探索知識的動力。平面幾何題目具有其特性，學生一旦沒有思路就會卡在開頭，無從下手；而在解析幾何中即使有了思路，計算能力不好也無法得高分。平面幾何題目的難度之大，極容易讓學生喪失學習的興趣，更嚴重的還會影響到學習數學的信心。

教師不能較好地利用課堂。學生很大程度上對數學的認知是來源于課堂的，尤其是教師的教學水平、人格魅力與思維方式會直接或間接影響到學生的學習興趣與思維方式，進而影響學習效果。現在許多教師傾向于以完成教學目標為基準開展教學活動，忽略了需要花費時間營造課堂氛圍與課外知識拓展，導致教學效果不佳。

四、針對上述難點與問題點本文提出的對應建議

針對上述難點與問題點，本文提出下列對策，希望能夠幫助學生更好學習。

（一）借助工具來培養想象思維能力

所謂“工具”，可以是趣味性的折紙、拼搭圖形等方式，也可以是多媒體技術方式。最好的學習效果應該建立在“課堂上教師利用多媒體對學生進行展示，還可以利用軟件對幾何圖形進行建模；課堂下學生自己通過動手來模擬圖形加強對空間狀態的感知與想象”這一創造性的模式之上。這樣一來，學生可以最大化利用到協助性工具幫助培養自己的思維。比如幫助學生認知角的平分線時，可以利用多媒體的flash動畫，課下讓學生動手折紙練習（拿一矩形狀紙張，在一個角處進行對折）。這樣的模式可以充分調動學生的參與積極性，進而培養學習平面幾何的興趣。這一優勢在學習向量時尤為明顯，利用flash動畫，將向量的走向以最明顯的動態展示出來，讓學生的思考方式更為直觀。

（二）高效利用網絡資源

相較于高中時間緊張，初中數學學習時間較多，為學生利用網絡充足的資源進行學習提供可行性。現階段網絡學習資源較多，學生可以在條件允許的情況下，多聽一些具有啟發性的網絡課程，借鑒老師的思考方式來豐富自己的思考方法，幫助自己更好地解題。尤其如果是碰到老師教學方式忽略學生的主體地位的情況時，更需要學生自行學習，以自身勤奮彌補課堂效果不足。

（三）用獨特的思維方式學習幾何

幾何不同于函數等數學知識，它使得解決問題的策略能夠從計算為主演變成從概念、定理與條件出發并利用一定邏輯思考能力加以解決。那么學習幾何也需要著重鍛煉它所考查的能力。學生可以通過練習競賽題來培養自己的思維，尤其需要注意輔助線的強大作用。雖說平面幾何考查的是學生的創造力與想象力，但這些創造性能力也是需要長久練習和經驗積累得來的。

（四）探尋知識本源，拓寬知識面

解題的目的在于進一步掌握所學知識點，而不是只得出答案。日常的學習也是如此，從概念與公式一直要深入到其本質中去，確保自己掌握的不只是公式，而是自己所學內容構建起來的體系以及自己利用這個體系解決問題的能力。此外，學習過程中還應根據好奇心再自行拓展，比如平面幾何中，就可以以定理為出發點，探究一些數學中的奇妙現象，梅氏線、賽瓦點等就是很好的例子。學生自己在課外多掌握一些知識點和定理，有時可以直接節省做選擇題時間，幫助學生投入更多時間在更多題目上。

（五）自行思考，勤問勤學

數學是一門經常容易碰到難題的科目，尤其碰到不懂的題目時，學生務必要多思考，在自己用盡方法后再選擇詢問他人指導，如果自己不去思考，那么數學能力永遠也得不到本質上的提高。以平面幾何題目為例，如果碰到證明題，思考完怎樣解題后還需要多問問自己幾個問題，比如“這道題還有沒有更便捷的方法？這道題考查的內容是什么？涉及的知識點我有沒有不熟悉的？如果換用別的方法出現障礙怎么解決？ 這道題得到的結論是否能夠對我以后的解題有所幫助？”等等。此外，學生要在課下與教師多溝通，多聊一聊關于科目的竅門等，從經驗豐富的教師處學習總結能夠為己所用的技巧是很有效果的。

（六）利用思維游戲鍛煉自己的思維能力

不論是書籍還是網絡，學生都能從中查到很多思維游戲的相關資料，其中有各種關于推理或者視覺的思維游戲，反應速度慢、推理過程長的學生在平時就可以通過玩思維游戲的方式進一步提高自己的推理能力與想象能力，利用趣味性和益處并存的方式間接鍛煉到自己的平面幾何能力。

五、結束語

綜上，本文對初高中數學平面幾何的知識點進行了總結，并對學習過程中存在的難點與問題點加以分析，針對前述問題，提出高效利用工具等措施來跨越學習障礙，讓學生以平面幾何的學習過程為參考進一步優化自己對數學學習的理解，切實提高自己的數學成績。平面幾何雖難，但學生只要有有正確的學習方法與長久堅持的練習，所有的問題都將迎刃而解。

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