一種外轉子開關磁阻電機的數學模型

陳濤 胡鑫 向中凡 李波 陳永忠

（1.成都產品質量檢驗研究院有限責任公司 2.西華大學機械工程學院）

0 引言

目前，電動汽車被視為替代燃油汽車的主要汽車類型。電動汽車一般有電機集中驅動和四輪獨立驅動等方式。本文針對電動汽車輪轂驅動所采用的外轉子開關磁阻電機進行數學建模分析。

外轉子電機具有直接驅動輪胎、減少齒輪箱、傳動軸等優點。開關磁阻電機具有結構簡單、成本低、控制靈活以及效率高等優點[1]。外轉子開關磁阻電機采用雙凸極結構，定、轉子均采用硅鋼片疊壓而成。與傳統內轉子開關磁阻電機不同的是：外轉子開關磁阻電機采用內定子-外轉子模式。正如文獻[2]中對外轉子開關磁阻電機所描述，將產生磁力線的主繞組布置在內定子上面，磁力線通過氣隙、外轉子齒和外轉子磁軛與內定子形成閉合磁路。

眾所周知，磁路可以由電感L來進行描述，而電感主要取決于繞組匝數，磁路幾何形狀與尺寸，磁路材料的磁導率。在電磁能量轉換裝置中，氣隙將可動磁路部分和其他部分分離。大多數情況下，因為鐵磁材料的磁導率高，磁路的磁阻Rm主要為氣隙的磁阻。因此，大多數能量儲存在氣隙中[3]。因此，外轉子開關磁阻電機的數學模型主要的目的是在外轉子轉動時選取其中一個瞬態，對氣隙磁導的分割求取，進一步達到電感和電磁轉矩的求取分析。

文獻[4-5]提出了一種無軸承開關磁阻電機的數學模型，該數學模型主要內容是基于直線磁路和新型橢圓磁路分割來分析氣隙磁導，保證了電機在最大電感位置電磁轉矩和電感的連續性。同時也描述了沿α和β方向徑向懸浮力之間的耦合關系。

本文通過磁路和氣隙的對比分析，外轉子開關磁阻電機的氣隙分割采用文獻[5]的分割方式，通過得到外轉子轉動過程中電感與轉動角的關系式，得到電磁轉矩和轉動角的關系式。最后用Matlab進行圖形描述，并計算轉動過程中的電磁轉矩。

1 外轉子開關磁阻電機的運行原理

外轉子開關磁阻電機作為電動汽車輪轂驅動電機，需要減小轉矩脈動，因此本文以四相12/16結構的外轉子開關磁阻電機為例，在忽略掉因電機在轉動過程中沿α和β方向的微弱位移，理想狀況下，圖1中是外轉子開關磁阻電機A相導通的原理圖，實線表示電機內定子四極繞組電流ia產生的對稱四極磁通。從圖中可以看出，外轉子開關磁阻電機與內轉子開關磁阻電機一樣，由麥克斯韋應力理論可知，外轉子開關磁阻電機依然遵循最小磁阻原理。因此四極磁通中大部分磁力線在氣隙中是彎曲的，彎曲的磁力線中的切向磁力線產生使電機外轉子沿固定方向轉動的轉矩，而切向磁力線所產生的力因方向相反而抵消掉[6]。

圖1 外轉子開關磁阻電機運行原理

2 外轉子開關磁阻電機的數學模型

2.1 數學模型設定條件

電機的數學模型是對電機理論分析最重要的一個環節，本文將在內轉子開關磁阻電機的磁場分析的基礎上，對外轉子開關磁阻電機的氣隙磁路進行分割，推導出適用于求取外轉子開關磁阻電機氣隙磁導的計算方法。然后根據氣隙磁導求取電感和電磁轉矩表達式，達到數學建模的目的。因此，在本次數學模型中，12/8三相外轉子開關磁阻電機采用有軸承結構，三相輪流導通。以圖1中的A相繞組進行分析，與氣隙長度相比，忽略外轉子的徑向位移；忽略定子交鏈轉子槽底的磁通；定義外轉子與定子極正對時的角度為0度，此時邊緣磁通為0；忽略實際電機中出現的磁飽和現象以及漏磁通；外轉子順時針旋轉轉角為正。

2.2 電感表達式的求取

圖2 A相外轉子開關磁阻電機等效磁路圖

文獻[4]提供了一組求取某一相繞組電感的表達式：

Lma就是相繞組的自感，P=P1+P2+P3+P4。

在本文中討論外轉子開關磁阻電機時，由于忽略外轉子的徑向位移，因此，氣隙長度不受外轉子徑向影響，所以氣隙磁導P1、P2、P3、P4相等。在內定子主繞組自感遠遠大于互感，因此互感可以忽略不計[7]，所以僅需要計算內定子繞組上的自感。由式（1）簡化為：

2.3 外轉子開關磁阻電機的氣隙磁導

根據對外轉子開關磁阻電機的有限元分析而產生的磁力線分布圖，內定子繞組產生的氣隙磁路的邊緣磁力線接近于橢圓[2,8]。因此本文以圖1中畫出磁感線的A相繞組為例，對其中一個繞組按照橢圓進行磁路分割。如圖3所示，該氣隙磁導分為三部分組成：外轉子與內定子之間重疊部分氣隙磁導為Pc和邊緣磁路產生的氣隙磁導Pa和Pb。由于磁路分割的對稱性，Pa與Pb近似相等，即A相的P1滿足下列公式：

圖3 A相一繞組的氣隙磁路分割

將A相一繞組分割如圖3所示的三部分，從外轉子開關磁阻電機磁路有限元分析[7]和無軸承內轉子磁路分布的對比分析，外轉子開關磁阻電機的橢圓磁力線的短半軸位于外轉子齒上，長為t，而長半軸位于內定子齒上，長度為ε+kt。磁路系數k是轉角θ和氣隙相關的函數[5]，可以表示為：

前面提到，有軸承外轉子開關磁阻電機中，電機外轉子徑向位移忽略不計，即理想狀態下，分析外轉子轉動角度與氣隙磁導的關系，如圖4所示，θ2表示電機外轉子與內定子轉動時重疊角度的一半，而θ則表示外轉子與內定子中心所形成的未重合的部分的夾角。

圖4 A相一繞組氣隙與定、轉子間數量關系

在圖4中，滿足如下幾何關系：

由圖3可以看出，將電機外轉子與內定子之間重合的部分磁路近似于直線磁路，則這一部分的氣隙磁導Pc滿足下列表達式：

式中，h為外轉子電機中內定子軸向內定子鐵心長度；μ0為空氣中的磁導率；r為外轉子內徑。

上述Pa=Pb，因此dPa的截面積ds可以近似表示為：

表示兩平行面磁路長度，而由于Pa和Pb部分是橢圓部分，因此引入橢圓周長計算公式求得

將式（7）帶入式（8）可得氣隙磁導Pa和Pb部分。

由式（10）和式（3）可得：

由式（11）可得外轉子開關磁阻電機的電感表達式：

2.4 外轉子開關磁阻電機的數學模型計算理論電磁轉矩

開關磁阻電機的電磁轉矩的求取一般采用虛功原理，大多數能量儲存在氣隙中。因此，電磁轉矩必然與氣隙磁場儲能有關，作用在外轉子上面的電磁轉矩可由氣隙磁場儲能W對θ求偏導，進行近似計算[3]。

由于忽略電機內定子繞組互感，因此A相繞組齒極下面氣隙磁場能量為W為：

綜合式（10）和式（11）可以得到：

由式（12）可得：當θ≥0時，

當θ＜0時，

得到外轉子開關磁阻電機的電磁轉矩的公式：

當θ≥0時，

當θ＜0時，

對于A相瞬間電磁轉矩在一個開通周期內的平均電磁轉矩為：

3 外轉子開關磁阻電機數學模型輸出

本實驗通過普通開關磁阻電機推演，得到電機外轉子外徑為262mm。參考開關磁阻電機相關參數設計[9]。外轉子部分減去軛高和齒高，外轉子內徑為198mm，內定子外徑為197mm。氣隙長度為0.5mm。為了與Ansoft Maxwell2D靜態場仿真結果對比，內定子鐵心長度設置為1m。繞組匝數為27匝。因此，利用Matlab中的m函數對外轉子開關磁阻電機中A相繞組導通時產生的電感進行計算所得到的結果如圖5、6所示。

4 結束語

由于外轉子開關磁阻電機某一相繞組導通時磁路的有限元分析，與無軸承開關磁阻電機的磁路有限元分析相似，因此引用無軸承開關磁阻電機分割磁路的方法，對外轉子開關磁阻電機進行磁路分割，該方法能夠很好地計算外轉子開關磁阻電機理想狀況下的氣隙磁導，解決外轉子開關磁阻電機電感和電磁轉矩無公式化問題，還精確地得出外轉子開關磁阻電機在理想狀態下具有相對恒定的電磁轉矩。為外轉子開關磁阻電機實際設計提供理論依據。

圖5 A相導通時，電感La隨角度θ的變化曲線

圖6 Maxwell2D靜態場電感曲線仿真結果