變溫環(huán)境下結構高頻瞬態(tài)能量響應預示

仝宗凱，趙保平，陳強

（1.北京機電工程研究所，北京 100074；2.東南大學 空天機械動力學研究所，南京 210096）

高速飛行器在服役過程中面臨著嚴酷的氣動熱環(huán)境和寬頻段的噪聲激勵。氣動加熱將改變結構的溫度分布，從而引起結構剛度特性和阻尼特性的變化[1]，進而影響結構的動力學特性。因此在服役過程中，飛行器的結構動力學分析屬于時變動力學的范疇，而目前針對結構高頻段響應預示的相關研究大多忽略了結構的時變特性。為保證能夠準確地預示結構在高頻段的動力學特性，急需開展變溫環(huán)境下結構高頻段動響應預示研究。

統(tǒng)計能量分析（Statistical Energy Analysis,SEA[2]）以統(tǒng)計物理學原理為基礎，將系統(tǒng)劃分為若干子系統(tǒng)，建立子系統(tǒng)間的能量傳遞方程，從而獲取系統(tǒng)的振動特性。統(tǒng)計能量分析可以很好地描述系統(tǒng)各組件的平均振動特性，是目前高頻激勵下結構動力學分析與環(huán)境預示的有力工具。對于高溫環(huán)境下結構的統(tǒng)計能量分析而言，高溫使得材料性能參數(shù)發(fā)生變化同時改變結構的應力分布狀態(tài)[3-5]，從而影響結構的振動特性。目前國內外已開展高溫環(huán)境下結構的統(tǒng)計能量分析研究，Han等[6]基于改進的夾芯板理論，計算了熱環(huán)境下夾芯板的模態(tài)密度和模態(tài)數(shù)目；張鵬和費慶國等[7]考慮與溫度相關的材料物性參數(shù)變化，研究了溫度對統(tǒng)計能量分析參數(shù)的影響；陳強和費慶國等[8-9]結合有限元方法和功率輸入法給出了一種熱環(huán)境下適用于復雜結構的統(tǒng)計能量分析方法，并研究了不同熱效應、熱載荷參數(shù)和結構尺寸參數(shù)對統(tǒng)計能量分析參數(shù)的影響。雖然 SEA已經擴展到預測熱環(huán)境下系統(tǒng)的振動，但目前高溫環(huán)境下的統(tǒng)計能量分析研究大多集中在定溫環(huán)境下結構的高頻段穩(wěn)態(tài)能量響應。這主要是由于傳統(tǒng)的 SEA方法并未考慮結構的時變結構特性，難以應用于變溫環(huán)境下時變結構的動力學分析中。

文中基于統(tǒng)計能量分析方法，考慮時變參數(shù)對結構能量的影響、熱效應引起的材料力學性能變化和結構熱應力對統(tǒng)計能量分析參數(shù)的影響，提出一種變溫環(huán)境下結構高頻瞬態(tài)能量響應預示方法。分別以時變雙振子系統(tǒng)模型和變溫環(huán)境下的L型折板為例，驗證計算分析方法的準確性和適用性。

1 理論基礎

1.1 時不變結構的統(tǒng)計能量分析

在統(tǒng)計能量分析中，對于劃分為N個子系統(tǒng)的時不變結構，其統(tǒng)計能量分析模型中子系統(tǒng)i的能量控制方程為：

式中：ηi為子系統(tǒng)i的內損耗因子；ηji為子系統(tǒng)j到子系統(tǒng)i的耦合損耗因子；ω為角頻率，ω=2πf；Ei為子系統(tǒng)i在空間內和頻域內的平均能量；Pi為子系統(tǒng)i在空間內和頻域內的平均輸入功率。

對于時不變結構，其統(tǒng)計能量分析的動力學方程為：

式中：η 為總損耗因子矩陣； E = [E1, E2,… ,EN]T為能量向量，為輸入功率向量。

對于時不變結構的總損耗因子矩陣η，其矩陣元素為：

1.2 時變結構的統(tǒng)計能量分析

對于時變結構的能量控制方程，主要有以下假設[10]：

式中：e+(s,t)和e-(s,t)分別為波向左和向右傳播的響應能量密度；I+(s,t)和I-(s,t)分別為入射和反射的功率流；c為結構中傳播波的群速度。

對于無外載荷作用下，結構的能量平衡方程為[10]：

時變結構的能量耗散項表達式為：

式中：η(t)為時變內損耗因子。

將式（4）、（5）、（6）、（8）帶入式（7）可得：

將式（7）分別對時間和空間求微分，然后相減可得：

將式（7）中 ?I ( s, t)/?s 的帶入式(10)可得：

對于由N個子系統(tǒng)組成的時變結構，由式(11)積分可得子系統(tǒng)的能量控制方程為：

式中：Ei(t)為子系統(tǒng) i的時變能量， Ei( t)=∫Vei( s, t)；Pi(t)是子系統(tǒng)i的時變輸入能量；

ηji(t)為子系統(tǒng)j到子系統(tǒng)i的時變耦合損耗因子。

則子系統(tǒng)i的能量密度控制方程為：

將式（11）中的能量密度對體積積分，得到子系統(tǒng)i的能量密度控制方程為：

在統(tǒng)計能量分析中，時變結構中子系統(tǒng)i的能量控制方程為：

對于時變結構而言，其統(tǒng)計能量分析的動力學方程為：

對于時變總損耗因子矩陣，其矩陣元素為：

2 算例驗證

2.1 研究對象

由于欠缺復雜工程結構瞬態(tài)能量響應的理論表達式，因此以脈沖載荷作用下的時變雙振子系統(tǒng)為例，驗證該分析方法的準確性。在如圖1所示的時變雙振子系統(tǒng)中[11]，m1(0)=m2(0)=2 kg，k1(0)=k2(0)=1 717 000 N/m，k(0)=280 000 N/m，c1(0)=c2(0)=200 N/s，分析頻率設置為1000 rad/s。假定在初始時刻對m1施加脈沖激勵，使其具有初速度x˙1(0)=1，則振子1的初始能量為E1(0)=0.5m1。

圖1 雙振子系統(tǒng)

在統(tǒng)計能量分析中，時變雙振子系統(tǒng)可以轉化為由兩個子系統(tǒng)組成的統(tǒng)計能量分析模型，如圖2所示。

圖2 雙子系統(tǒng)的統(tǒng)計能量分析模型

子系統(tǒng)1的時變內損耗因子和子系統(tǒng)1到子系統(tǒng)2的時變耦合損耗因子可表示為：

在Newmark-beta法中，對于如圖1所示的時變雙振子系統(tǒng)模型而言，振子i的能量可表達為勢能和動能的能量之和[10]：

2.2 時變雙振子系統(tǒng)的瞬態(tài)能量響應預示

在仿真分析中，假定雙振子系統(tǒng)具有時變阻尼特性，系統(tǒng)在 0.2 s內具有線性時變阻尼 c1(t)=c2(t)=(200-500t) N/s，系統(tǒng)的質量和剛度不變。由式（16）計算得到子系統(tǒng)2的瞬態(tài)能量響應，由式（19）計算得到振子2的瞬態(tài)能量響應。將文中提出的針對時變系統(tǒng)的SEA方法和Newmark-beta方法的結果比較進行對比，如圖3所示。由圖3可知，SEA方法計算結果與Newmark-beta方法的結果基本一致，能夠較好地捕捉振子2的時變能量特性。峰值時間和峰值能量是結構瞬態(tài)能量響應的主要分析指標，采用Newmark-beta法預示得到的峰值時間和峰值能量分別為12.9 ms和0.177 J，采用文中方法分別為13.8 ms和0.174 J，預示誤差分別為6.8%和1.7%。這表明文中的計算方法具有較高的計算精度，能夠較好地預示時變結構的瞬態(tài)能量響應。

圖3 振子/子系統(tǒng)1和振子/子系統(tǒng)2的瞬態(tài)能量響應

3 算例研究

3.1 研究對象

為研究薄壁構件在變溫環(huán)境下的瞬態(tài)能量響應變化規(guī)律，以夾角為90°的L型對稱折板為研究對象，幾何模型如圖4所示。兩板尺寸均為L1×L2×t=0.3 m×0.3 m×0.0018 m。板材料為TA7鈦合金，材料屬性見表1。采用殼單元建立有限元模型，單元尺寸為5 mm。兩板除耦合邊外各邊簡支。在分析過程中考慮了2%的結構阻尼。

圖4 L型對稱折板

表1 TA7合金材料屬性[12]

3.2 變溫環(huán)境下結構的瞬態(tài)能量響應預示

假定結構的初始溫度為20 ℃，在0.05 s內線性升溫至220 ℃。同時考慮熱效應對材料參數(shù)特性的影響和熱應力引起的附加剛度，采用有限元-功率注入法計算得到結構的時變內損耗因子和耦合損耗因子，分別如圖4和圖5所示。

圖5 子系統(tǒng)1的時變內損耗因子

圖6 子系統(tǒng)1到子系統(tǒng)2的時變耦合損耗因子

對板1施加1 J的瞬態(tài)沖擊載荷，將時變內損耗因子和時變耦合損耗因子帶入式（16）中，進而計算得到子系統(tǒng)1和子系統(tǒng)2的瞬態(tài)能量響應，如圖6所示。從圖6可知，子系統(tǒng)2的能量在較短時間內達到峰值，隨后子系統(tǒng)1和子系統(tǒng)2的能量以較快的速率耗散。子系統(tǒng)2瞬態(tài)能量響應的峰值時間為4.3 ms，峰值能量為0.093 J。子系統(tǒng)1和子系統(tǒng)2之間的能量交換遠小于兩子系統(tǒng)中因阻尼引起的能量消耗，這主要是由于子系統(tǒng)之間的耦合強度較弱。

圖7 子系統(tǒng)1和子系統(tǒng)2的瞬態(tài)能量響應

4 結論

文中針對變溫環(huán)境下結構的高頻瞬態(tài)能量響應預示問題，基于統(tǒng)計能量分析方法，考慮時變參數(shù)對結構能量的影響、熱效應引起的材料力學性能變化和熱應力對統(tǒng)計能量分析參數(shù)的影響，提出了一種變溫環(huán)境下結構高頻瞬態(tài)能量響應預示方法。以具有理論解的時變雙振子系統(tǒng)模型為例，驗證了計算該方法的準確性；以變溫環(huán)境下的折板系統(tǒng)為例，驗證了該計算方法的適用性。結果表明，對于雙振子模型，采用該方法預示得到的峰值時間和峰值能量的預示誤差分別為6.8%和1.7%。這說明方法具有較高的計算精度和計算效率，能夠較好地適用于結構的高頻瞬態(tài)能量響應預示。

該方法目前處于研究階段，對變溫環(huán)境下飛行器結構設計具有一定的指導意義，但該方法在復雜工程結構中的適用性還需要相關試驗研究進行驗證。