頻域子結構方法在力學環境預示中的應用研究

陳江攀，王冬，劉藝，劉艷，張為雯

（北京電子工程總體研究所，北京 100854）

隨著科學技術的飛速發展，工程實際中的結構系統越來越復雜，利用FEM分析如飛行器、船舶以及車輛等大型復雜結構的動力學特性時，離散后的結構自由度往往是數以萬計，甚至是數以十萬、百萬計，而所關心的往往只是復雜結構的少數低階動力學特性，故采用直接法求解不僅受到計算機工作性能的限制，還大大降低計算效率，并提高計算成本[1]。動態子結構方法的提出與發展則有效地解決了這一問題，其基本思路是“先化整為零，再積零為整”[2]。該方法的優點為：1）整體結構的自由度得到大量縮減，從而在保證計算精度的基礎上有效提升計算效率；2）可對所關注的子結構進行獨立修改和優化，而其余子結構保持不變；3）大型復雜結構的各子結構可由不同部門在不同地區進行設計、測試和分析，然后再進行綜合，即可獲得整體耦合結構的動力學模型，便于分工協作；4）具有廣泛的應用范圍，可對分別基于有限元和試驗測試所建立的子結構理論模型和試驗模型進行綜合[3]。

傳統上按照求解域的不同可將動態子結構方法分為兩類，即模態綜合法（CMS，Component Mode Synthesis）和FBSM。CMS發展較早且方法較為成熟，并已得到了廣泛的應用。該方法適用于基于有限元方法所建立的理論模型的綜合問題，但工程實際中常存在由試驗測試獲得的試驗模型以及理論-試驗混合模型的綜合問題。此時，則需基于子結構的頻響函數矩陣進行處理[4-5]，即FBSM。

最初的FBSM是阻抗耦合方法，阻抗耦合方法要求對子結構的全體自由度頻響函數矩陣進行求逆，故計算精度和計算效率均較低，且當頻響函數矩陣奇異時，該方法失效[6]。Jetmundsen等[7]在前人的研究基礎上，發展了導納耦合方法，導納耦合方法只需對界面連接自由度的頻響函數矩陣進行求逆，這使得該方法的計算精度和計算效率較阻抗耦合方法均大幅提高，但該方法僅適用于處理兩個獨立子結構之間的綜合問題。在導納耦合方法的基礎上，Ren等[8]提出了一種適用范圍更廣的廣義導納耦合方法，該方法可直接用于處理多個非獨立子結構之間的綜合問題。值得指出的是，廣義導納耦合方法僅適用于處理子結構間為剛性連接的頻域子結構綜合問題，但工程結構中的連接大都為彈性連接[9]。為此，文獻[10-12]基于廣義導納耦合方法，將子結構間的彈性連接劃分成一個獨立的連接子結構，對考慮彈性連接的FBSM進行了詳細推導，形成了現有的考慮彈性連接的FBSM。

在上述研究成果的基礎上，文中分別對處理子結構間為剛性連接和彈性連接兩種問題的 FBSM 進行了理論推導，并通過設計算例仿真對FBSM的正確性進行了驗證。此外，還就彈性連接的等效方法進行了討論。

1 剛性連接FBSM推導

以圖 1所示結構對處理子結構間為剛性連接問題的FBSM進行推導。

圖1 剛性連接子結構系統及整體結構

圖1中，a和n分別代表子結構系統和整體結構的內部結點自由度，b、c和j分別代表子結構系統和整體結構的界面結點自由度。此時，可將子結構系統和整體結構的頻響函數矩分別寫成如下形式：

式中：x、H和 f分別代表響應列向量、頻響函數矩陣和激勵列向量。引入位移協調和力平衡條件：

此外，由于綜合前后，子結構系統和整體結構內部結點自由度的響應和激勵均未發生變化，因此可得：

由式(1)和式(2)可得：

將式(2)和式(3)代入式(4)并整理可得：

此時，若矩陣(Hbb+Hcc-Hcb-Hbc)可逆，則式(5)可改寫為：

將式(2)和式(6)代入式(1)并整理可得：

將式(7)寫成矩陣形式如下：

式(8)即為處理子結構間為剛性連接問題的FBSM的表達式。其中，各子結構的頻響函數矩陣可通過試驗測試或理論計算獲得。計算方法通常選用模態疊加法：

式中：mi、ci和 ki分別為子結構對應于第 i階模態φi的模態質量、模態阻尼和模態剛度；j為虛數單位；ω為角頻率；w為參加計算的模態總階數，且由于w<

2 彈性連接FBSM推導

以圖 2所示結構對處理子結構間為彈性連接問題的FBSM進行推導。

圖2中：a代表內部結點自由度；b和c代表界面結點自由度；上標“-”和“~”分別代表子結構系統和彈性連接。此時，可將子結構系統的頻響函數矩陣以及彈性連接的阻抗矩陣分別寫為：

式中：Z代表阻抗矩陣。引入位移協調和力平衡條件為：

此外，由于綜合前后，子結構系統和整體結構內部結點自由度的響應和激勵均未發生變化，因此可得：

圖2 彈性連接子結構系統及整體結構

由式(10)和式(11)可得：

由式(10)、式(11)和式(12)可得：

將式(14)代入式(13)并整理可得：

將式(15)寫成矩陣的形式為：

式(16)中，若待求逆矩陣具有奇異性，可采用奇異值分解方法對其進行處理[13]。此時，將式(11)、式(12)以及式(16)代入式(10)并整理可得：

式(17)即為處理子結構間為彈性連接問題的FBSM的表達式。值得指出的是，式(17)中參與求逆的矩陣階數僅為界面結點自由度數，故可顯著提高計算效率。同理，式(17)中各子結構的頻響函數矩陣也可通過試驗測試或由式(9)所示的模態疊加法計算獲得。

3 彈性連接等效方法

在利用式(17)對具有彈性連接的結構進行力學環境預示時，如何對彈性連接進行準確地等效將直接影響預示精度。文獻[5, 14]利用6自由度標量彈簧-阻尼系統等效結構中的彈性連接，對具有彈性連接結構的力學環境預示方法進行了初步研究，并取得了一定的研究成果，但這種等效方法沒有考慮彈性連接各自由度間的剛度耦合作用，與工程實際并不相符。由文獻[15]可知，空間梁單元的剛度矩陣Kb的表達式為：

式中：A、E和G分別為空間梁單元的截面面積、 彈性模量和剪切模量；L為單元長度；Ix為單元截面的極慣性矩；Iy和Iz則分別表示單元截面對坐標軸y和z的慣性矩。

由式(18)可知，空間梁單元的結點剛度矩陣為非對角陣，存在垂向平動和彎曲的耦合項，故與六自由度標量彈簧相比，可更為準確地等效復雜結構中的彈性連接剛度。此外，彈性連接的質量遠小于整體結構質量，對整體結構力學特性的影響可忽略不計[4,8]。此時，假設彈性連接為瑞利比例阻尼，則可將彈性連接的阻抗矩陣Z寫為：

式中：β為比例阻尼系數。

4 算例驗證

為了驗證上述推導所得分別處理子結構間為剛性連接和彈性連接兩種問題的FBSM的正確性，設計了如圖3所示的算例結構。圖3中，P和Q為兩根相同的矩形截面長梁，截面尺寸和梁長度分別為0.02 m× 0.04 m和0.5 m。C為彈性連接，采用兩根相同的圓形截面短梁來等效，截面直徑和梁長度分別為0.005 m和0.05 m。此外，P、Q和C均為瑞利比例阻尼。利用空間梁單元對彈性連接進行等效，并對P、Q和C進行單元劃分，在此基礎上，分別建立P、Q、C以及整體結構的有限元模型，單元屬性見表1。

在上述基礎上，分別利用FBSM和FEM對圖3所示算例結構中結點1和結點2兩個結點之間三個平動方向的頻響函數進行計算，并將兩種方法對應的計算結果進行了對比，如圖4所示。其中，圖3a所示子結構間為剛性連接的算例結構，其結點1和結點2兩個結點之間的X-X平動方向在1000 Hz內無固有頻率，故圖4a只給出了FBSM和FEM對Y-Y和Z-Z兩個平動方向在1000 Hz內頻響函數計算結果的對比情況。

由圖4可知，對于子結構間為剛性連接和彈性連接兩種情況，FBSM對頻響函數的計算結果均與FEM的對應計算結果吻合程度良好，即FBSM可對結構的力學環境進行準確高效地預示。

圖3 算例結構

表1 算例結構單元屬性

圖4 兩種方法計算結果對比情況

5 結語

文中分別對處理子結構間為剛性連接和彈性連接兩種問題的FBSM進行了理論推導，并就彈性連接的等效方法進行了討論，且通過算例仿真驗證了FBSM的正確性。結果表明，對于子結構間為剛性連接和彈性連接兩種情況，FBSM均可對結構的力學環境進行準確高效的預示，且在處理具有彈性連接結構的力學環境預示問題時，可采用空間梁單元等效彈性連接。該研究所得的結論具有一定的理論研究和工程應用價值。