運用高數解高考題常見的幾大誤區

朱小扣 藍云波

摘 要：導數是高中數學的重要內容和考點，由于導數題的綜合度高，命題靈活，運用高等數學知識去解導數題成為很多考生選擇的方法但運用高等數學必須且行且謹慎，使用時不可盲目本文舉例分析幾類常見誤區.

關鍵詞：高考；導數；高數；誤區

作者簡介：朱小扣 （1986-），男，安徽無為人，本科，中學一級教師，研究方向：中學數學教學研究.

藍云波（1981-） ，男，廣東省興寧人，本科，中學一級教師，研究方向：中學數學教學研究.

一、知識點梳理

1兩個常用的放縮不等式

（1）指數放縮：ex≥x+1，x∈R，當且僅當x=0時等號成立；

（2）對數放縮：lnx≤x-1，x∈（0，+∞），當且僅當x=1時等號成立.

2洛必達法則

設函數f（x）和g（x）在點a的某個去心鄰域內有定義且可導，且滿足：g′（x）≠0，limx→af（x）=0，limx→ag（x）=0，則有limx→af（x）g（x）=limx→af ′（x）g′（x）=A（其中A為常數，或為∞）

（注：當 limx→af（x）=∞且limx→ag（x）=∞時，洛必達法則仍然成立）

3拉格朗日中值定理

若f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）上可導，則存在ξ∈（a，b），使f ′（ξ）=f（b）-f（a）b-a.

4羅爾定理

如果函數 f（x）滿足以下條件：（1）在閉區間[a，b]上連續；（2）在開區間 （a，b）內可導；（3）f（a）=f（b），則至少存在一個ξ∈（a，b），使得f ′（ξ）=0.

二、誤區揭示

1常用不等式放縮的運用誤區

例1 （2010年湖北卷理21題）已知函數f（x）=ax+1x+c（a>0）的圖像在點（1，f（1））處的切線方程為y=x-1.

（1）用a表示出b，c；

（2）若f（x）≥lnx在1，+∞上恒成立，求a的取值范圍.

錯解 （1）b=a-1，c=1-2a.

（2）由題意可知，a≥xlnx-x+1（x-1）2（x>1），而xlnx-x+1（x-1）2

故a≥1.

錯解分析 直接利用lnx1）放縮，會使得范圍改變（擴大或縮小）做類似題時，必須考慮什么時候取“等號”實際上本題是x=1時，但x=1時，原式是00型的，必須用洛必達法則去考查.

正解 （1）b=a-1，c=1-2a.

（2）由題意可知，a≥xlnx-x+1（x-1）2（x>1）.

由limx→1xlnx-x+1（x-1）2=limx→1lnx2（x-1）=limx→11x2=12.

故可猜測當x>1時，xlnx-x+1（x-1）2<12.

只需證當x>1時，12（x-1）2-xlnx+x-1>0.

令h（x）=12（x-1）2-xlnx+x-1（x>1），

則h′（x）=（x-1）-lnx>0所以h（x）在x∈（1，+∞）單調遞增，即h（x）>h（1）=0.

故當x>1時，xlnx-x+1（x-1）2<12恒成立，故a≥12.

2拉格朗日中值定理運用的誤區

例2 （2014年陜西卷文21題）設f（x）=lnx+mx（m∈R）.

（1），（2）題略；

（3）若對任意的b>a>0，f（b）-f（a）b-a<1恒成立，求m的范圍.

錯解 由拉格朗日中指定理可得：x∈（a，b），使得f ′（x）=f（b）-f（a）b-a.

故f ′（x）<1在（0，+∞）上恒成立，所以1x-mx2<1（x>0）.

m>-x2+x=-x-122+14故m>14.

錯解分析 忽略了極限的保號性，導致錯誤，極限的保號性：當x>0時，1x>0 但limx→+∞1x=0，也即極限不僅可以大于0，有時也可以取等號.

正解 由拉格朗日中指定理可得：x∈（a，b），使得f ′（x）=f（b）-f（a）b-a可以驗證并由保號性得到：f ′（x）≤1在（0，+∞）上恒成立

所以1x-mx2≤1（x>0）.

所以m≥-x2+x=-x-122+14

故m≥14.

3羅爾定理的運用誤區

例3 （2014年四川卷理21題）已知函數f（x）=ex-a·x2-b·x-1，其中a，b∈R，e=271828…為自然對數的底數.

（1）設g（x）是函數f（x）的導函數，求函數g（x）在區間0，1上的最小值；

（2）若f（1）=0，函數f（x）在區間（0，1）內有零點，求a的取值范圍.

錯解 （2）因為f（x）=ex-ax2-bx-1， 所以g（x）=f ′（x）=ex-2ax-b又g′（x）=ex-2a，由f（1）=0，可知e-a-b-1=0，所以b=e-a-1.

設x0是f（x）的零點且x0∈（0，1），則f（0）=f（x0）=f（1）=0，兩次運用羅爾定理得：

x1∈（0，x0），f ′（x1）=0，x2∈（x0，1），f ′（x2）=0，

所以f ′（x）=0在（0，1）上有兩個不同的解.

所以f ′′（x）=0在（0，1）上有解.

即g′（x）=0在（0，1）上有解.

所以g′（0）g′（1）<0所以（1-2a）（e-2a）<0解得12

綜上，a的取值范圍為（12，e2）.

錯解分析 過多地運用了羅爾定理（兩次），使得變量的范圍改變（擴大或縮小），化歸方法不當，羅爾定理只能用一次.

正解 （2）因為f（x）=ex-ax2-bx-1 ，所以g（x）=f ′（x）=ex-2ax-b又g′（x）=ex-2a.

由f（1）=0，所以e-a-b-1=0，即b=e-a-1.

設x0是f（x）的零點且x0∈（0，1），則f（0）=f（x0）=f（1）=0，由羅爾定理得：

x1∈（0，x0），f ′（x1）=0，x2∈（x0，1），f ′（x2）=0，

所以f ′（x）=0在（0，1）上有兩個不同的解.

即g（x）=0在（0，1）上有兩個不同解.

易知當a≤12或a≥e2時，函數g（x）即f ′（x）在區間[0，1]上單調，則f ′（x）=0在（0，1）上不可能有兩個不同的解.

若12

令h（x）=32x-xlnx-e-1（1

則h′（x）=12-lnx.

由h′（x）=12-lnx>0，解得x

所以h（x）在區間（1，e）上單調遞增，在區間（e，e）上單調遞減.

所以hmax（x）=h（e）=32e-elne-e-1=e-e-1<0即gmin（x）<0恒成立.

于是，函數f（x）在區間（0，1）內至少有三個單調區間，所以g（0）=2-e+a>0，g（1）=-a+1>0，解得a>e-2，a<1

又12

綜上，a的取值范圍為（e-2，1）.

總結 以上列舉了運用高數解高考題常見的幾大誤區，除此之外還有諸如：增函數f ′（x）≥0成立，反之不成立極值是導數為0的關系是既不充分也不必要條件等.總之，數學的學習就是一個去偽存真的過程正如數學家波利亞說過：“錯誤中往往孕育著比正確更豐富的發現和創造因素，發現的方法就是試錯的方法”學習數學的真諦不是對與錯，而是能靈活運用（文2）.

參考文獻：

[1]藍云波，朱小扣活躍在競賽中的導數問題[J]數學通訊，2017（09）.

[2]朱小扣探究高中數學命題的原則[J]中學數學研究，2017（11）.