一道三角函數小題的多視角解法探究

摘 要：本文對一道解三角形填空題從三個不同的視角——化邊為角、化角為邊、運用重要恒等式展開探究，切入點分明，思路清晰.

關鍵詞：三角函數；解法；多視角探究

作者簡介：朱萬江（1981-），男，江西信豐人，本科，中學高級教師，研究方向：高中數學教育教學.

一、試題呈現

題目 在銳角△ABC中，b2cosAcosC=accos2B，則B的取值范圍是.

題目選自高三復習模考題，考查多個知識點，綜合性較強，屬于中檔題此題的特征是找切入口容易，得出結果卻比較難解題過程中的每一個環節都有難度，并且環環相扣，要求學生具有較強的綜合知識運用能力.

二、解法探究

1化邊為角

通過正弦定理，把條件等式中的邊轉化為對應角的正弦值，化簡成關于某角正切值的一元二次方程，再利用判別式法來求解.

解法1 由正弦定理，得 sin2BcosAcosB=sinAsinCcos2B.

化簡整理，得 tan2B=tanAtanC.

又因為tanC=-tan（A+B）=-tanA+tanB1-tanAtanB，

所以tan2B=-tanA·tanA+tanB1-tanAtanB.

化簡整理，得

tan2A+（tanB-tan3B）tanA+tan2B=0.

把上式看成是關于tanA的一元二次方程，其中tanB為常數.

要使方程有意義，則必有Δ=（tanB-tan3B）2-4tan2B≥0.

化簡整理，得 （tan2B-3）（tan2B+1）≥0.

解得 tanB≥3或tanB≤-3.

因為B為銳角，所以tanB≥3.

所以π3≤B<π2故B的取值范圍是[π3，π2）.

2化角為邊

通過余弦定理，把條件等式中角的余弦值轉化為對應的邊的關系式，然后整體代換到所求角的余弦定理中，最后利用基本不等式來求解.

解法2 由余弦定理，得

b2·b2+c2-a22bc·a2+b2-c22ab=ac·（a2+c2-b22ac）2.

化簡整理，得a4+c4-a2b2-b2c2=0.

即b2=a4+c4a2+c2.

又由余弦定理，得cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-a4+c4a2+c22ac=aca2+c2.

由基本不等式知cosB=aca2+c2≤ac2ac=12 （當且僅當a=c時等號成立）.

因為B為銳角，所以π3≤B<π2.

3運用重要恒等式

通過三角射影定理，對等式進行整體代換，最后利用基本不等式來求解.

解法3 由三角射影定理知，

a=bcosC+ccosB，c=acosB+bcosA.

所以bcosC=a-CcosB，bcosA=c-acosB①

因為b2cosAcosC=accos2B，

所以（bcosA）·（bcosC）=accos2B ②

將①式代入②式可得

（c-acosB）·（a-ccosB）=accos2B.

化簡整理得 cosB=aca2+c2.

因為a2+c2≥2ac（當且僅當a=c時等號成立），

所以cosB=aca2+c2≤ac2ac=12.

因為B為銳角，所以π3≤B<π2.