導數問題中分類討論的策略

摘 要：本文從導函數的根的存在性、根是否屬于定義域、根的大小關系等三個方面探討了導數問題中的分類討論策略.

關鍵詞：單調區間；極值；分類；取值范圍

作者簡介：曹輝 （1976-），男，甘肅永昌人，本科，中學一級教師，研究方向：中學數學教學.

分類討論是解決含有參數的復雜數學問題的重要數學思想之一分類討論是當問題所給的研究對象不能進行統一研究時，對研究對象按照某種標準進行分類，然后分別對每一類對象進行研究并得出結論，最后綜合各類的研究結果對問題進行整體的解釋.

近年，高考解答題對導數部分的考查幾乎都會涉及到對某個參數的分類討論，但總體表明考生的得分率并不高.主要原因有兩個：一是不能理解題意；二是不會分類討論.分類討論不僅是高考的重點與熱點，還是高考的難點.每年高考試題中都會設置分類討論問題，通過分類討論考查推理的嚴謹性和分析問題、解決問題的能力.因此，在教授導數時，要讓學生掌握常見的分類討論策略.本文對這類問題從3個方面談談導數中如何把握對參數的分類討論.

一、有沒有

導函數的根的存在性討論.

例1 求函數f（x）=x3+ax2+x的單調區間.

分析 對于三次或三次以上的函數求單調區間，基本上是運用求導法，所以對函數f（x）=x3+ax2+x進行求導可以得到導函數f ′（x）=3x2+2ax+1觀察發現，該導函數無法因式分解，故無法確定方程3x2+2ax+1=0是否有實根因此，首先考慮方程是否有解方程根的判別式Δ=4a2-12.

若Δ=4a2-12<0，即-30 在R上恒成立，所以f（x）在R上單調遞增；

若Δ=4a2-12=0，即a=±3，方程3x2+2ax+1=0有兩個相等的實根，x1=x2=-a3，即f ′（x）≥0在R上恒成立，所以f（x）在R上單調遞增；

若Δ=4a2-12>0，即a<-3或a>3，則方程3x2+2ax+1=0有兩個不同實根，由求根公式可解得x1=-a-a2-33，x2=-a+a2-33，顯然x1

表1

x（-∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）

f ′（x）+0-0+

f（x）單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增

綜上所述，當-3≤a≤3時，f（x）的單調遞增區間為（-∞，+∞），沒有單調遞減區間；當a<-3或a>3時，f（x）的單調遞增區間為（-∞，-a-a2-33）和（-a+a2-33，+∞），單調遞減區間為（-a-a2-33，-a+a2-33）.

例2 設函數f（x）=ex-ax-2，求f（x）的單調區間.

分析 此題與例1一樣，可以用求導法討論單調區間對函數f（x）=ex-ax-2進行求導，得到f ′（x）=ex-a.觀察發現，無法確定方程ex-a=0是否有實根，因此，首先考慮方程是否有解對于含有超越式的方程是否有根問題，判別式無法使用，可轉化為值域問題解決.

因為ex≥0，所以若a≤0，則f ′（x）≥0在R上恒成立，所以f（x）在R上單調遞增；若a>0，由ex-a=0得x=lna，當xlna時f ′（x）>0，所以f（x）的單調遞減區間是（-∞，lna）， 單調遞增區間是（lna，+∞）.

綜上所述，當a≤0時，f（x）的單調遞增區間為（-∞，+∞），沒有單調遞減區間；當a>0時， f（x）的單調遞減區間是（-∞，lna）， 單調遞增區間是（lna，+∞）.

二、在不在

求導后，導函數為零有實根（或導函數的分子能分解因式），但不知導函數為零的實根是否落在定義域內，從而引起討論.

例3 （2008高考浙江卷理科）已知a是實數，函數f（x）=x（x-a）.

（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；

（Ⅱ）設g（a）為f（x）在區間0，2上的最小值.

（i）寫出g（a）的表達式；

（ii）求a的取值范圍，使得-6≤g（a）≤-2.

分析 （Ⅰ）函數的定義域為0，+∞，f ′（x）=x+x-a2x=3x-a2x=3（x-a3）2x（x>0）.

由f ′（x）=0得x=a3.考慮a3是否落在導函數f ′（x）的定義域（0，+∞）內，需對參數a的取值進行討論.

（1）當a≤0時，因為f ′（x）>0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）的單調遞增區間為0，+∞.

（2）當a>0時，由f ′（x）>0，得x>a3；由f ′（x）<0，得0

因此，當a>0時，f（x）的單調遞減區間為0，a3，f（x）的單調遞增區間為a3，+∞.

（Ⅱ）（i）由第（Ⅰ）問的結論可知：

（1）當a≤0時，f（x）在0，+∞上單調遞增，從而f（x）在0，2上單調遞增，所以g（a）=f（0）=0.

（2）當a>0時，f（x）在0，a3上單調遞減，在a3，+∞上單調遞增.

①當a3∈（0，2），即0

②當a3∈2，+∞，即a≥6時，f（x）在0，2上單調遞減，所以g（a）=f（2）=2（2-a）.

綜上所述，g（a）=0，a≤0-2a3a3，0

（ii）令-6≤g（a）≤-2.

①a≤0，無解；

②若0

③若a≥6，由-6≤2（2-a）≤-2，解得6≤a≤2+32.

綜上所述，a的取值范圍為3≤a≤2+32.

三、誰大誰小

求導后，導函數為零有實根（或導函數的分子能分解因式）， 導函數為零的實根也落在定義域內，但不知這些實根的大小關系，從而引起討論.

例4 求函數f（x）=13x3+1-a2x2-ax-a，x∈R的單調區間.

分析 對于三次或三次以上的函數求單調區間，基本是運用求導法，所以對函數f（x）=13x3+1-a2x2-ax-a進行求導，得到導函數f ′（x）=x2+（1-a）x-a觀察可知，導函數可以因式分解為f ′（x）=x2+（1-a）x-a=（x-a）（x+1）由此可知方程f ′（x）=0有兩個實根x1=a，x2=-1，由于a的范圍未知，要討論函數f（x）=13x3+1-a2x2-ax-a的單調性，需要討論兩個根的大小.

當a<-1時，f（x），f ′（x）隨x的變化情況如下：

x（-∞，a）a（a，-1）-1（-1，+∞）

f ′（x）+0-0+

f（x）單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增

所以，函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，a）和（-1，+∞），單調遞減區間為（a，-1）.

當a=-1時， f ′（x）≥0在R上恒成立，所以函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，+∞），沒有單調遞減區間.

當a>-1時，f（x），f ′（x）隨x的變化情況如下：

表3

x（-∞，-1）-1（-1，a）a（a，+∞）

f ′（x）+0_0+

f（x）單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增

所以，函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，-1）和（a，+∞），單調遞減區間為（-1，a）.

綜上所述，當a<-1時，函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，a）和（-1，+∞），單調遞減區間為（a，-1）；當a=-1時，函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，+∞），沒有單調遞減區間；當a>-1時，函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，-1）和（a，+∞），單調遞減區間為（-1，a）.

以上三點即為含參數導數問題的三個基本討論點，在求解有關含參數的導數問題時，可按上述三點的順序對參數進行討論.因此，對含參數的導數問題的討論，還是有一定規律可循的.當然，在具體解題中，可能要討論其中的兩點或三點，這時的討論就更復雜一些了，需要靈活把握.