例談極值點偏移問題解決策略

摘 要：極值點偏移問題是最近幾年考試熱點，難度較大，經常作為壓軸題出現.本文從具體例題出發，給出解決偏移問題三種策略，然后將極值點偏移的非標準形式轉化為標準形式，最后找到極值點偏移問題的“母體”，即拉格朗日中值定理.

關鍵詞：對稱函數；對數平均不等式；換元法

作者簡介：湯生兵（1987-），男，安徽蕪湖人，本科，中學二級教師，研究方向：高中數學教學.

一、題目呈現

例1 已知f（x）=x·e-x，若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），求證：x1+x2>2.

二、題目解析

解析 由題知：f ′（x）=1-xex，從而f（x）在（-∞，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，如圖1.

方法1 （構造對稱函數）令F（x）=f（x）-f（2-x），則F′（x）=f ′（x）+f ′（2-x）=（x-1）·e2x-e2ex+2.

當x>1時，F′（x）>0，從而F（x）在（1，+∞）上單調遞增，并且F（x）>F（1）=0，于是，當x>1時，F（x）>0，即f（x）>f（2-x）.

不妨設x1<1f（2-x2）.

因為f（x1）=f（x2），所以f（x1）>f（2-x2），其中x1<1，2-x2<1，且f（x）在（-∞，1）上單調遞增，于是x1>2-x2，即x1+x2>2，證畢.

方法2 （對數平均不等式）

概念 若a，b>0，則ab

因為f（x1）=f（x2），x1ex1=x2ex2，兩邊取對數得lnx1-x1=lnx2-x2即x2-x1lnx2-lnx1=1.

又因為x2-x1lnx2-lnx12.

方法3 （換元法）

因為f（x1）=f（x2），x1ex1=x2ex2，ex2ex1=x2x1，不妨設x2>x1>0，x2x1=t>1，從而ex1·（t-1）=t，x1=lntt-1，x2=t·lntt-1，x1+x2=lntt-1+t·lntt-1=（t+1）·lntt-1>2，整理，得lnt-2（t-1）t+1>0.

令h（t）=lnt-2（t-1）t+1，接下來，只要證明h（t）>0即可.

因為h′（t）=（t-1）2t·（t+1）2>0，所以h（t）在（1，+∞）上單調遞增，從而h（t）>h（1）=0，證畢.

上面應用的是“比”換元法，也可用“差”換元法 .

由題知：令x1ex1=x2ex2=m，即x1=mex1，x2=mex2，兩式相減，得m=x2-x1ex2-ex1.

因為x1+x2=m·（ex1+ex2）

=x2-x1ex2-ex1·（ex1+ex2）

=（x2-x1）·（ex2-x1+1）ex2-x1-1>2，

再令x2-x1=t，其中t>0，從而t·（et+1）et-1>2.

即t·（et+1）-2·（et-1）>0.

令h（t）=t·（et+1）-2·（et-1），接下來證明h（t）>0即可.

h′（t）=t·et-et+1，h″（t）=t·et.

因為h″（t）>0，所以h′（t）在（0，+∞）上單調遞增，即h′（t）>h′（0）=0，從而h（t）在（0，+∞）上單調遞增，即h（t）>h（0）=0，證畢.

上面三種方法都可以解決極值點偏移問題，由此會有兩個疑問，什么叫極值點偏移？三種方法的特點是什么？

三、極值點偏移

所謂的極值點偏移指的是圖像在極值點兩側不對稱.

若左快右慢，則極值點左偏m

若左慢右快，則極值點右偏m>x1+x22，如圖3.

四、三種方法的特點

方法1叫做構造對稱函數，它有下列3個步驟：

①構造對稱函數F（x）=f（x）-f（2m-x），其中m為極值點；

②對F（x）求導，判斷F′（x）的正負，結合F（m）=0，得到F（x）的正負，即f（x1）=f（x2）>f（2m-x2）或f（x1）=f（x2）

③再利用f（x）的單調性，得mx1+x22.

此方法的優點是適用范圍廣，因此該方法也叫“通法”，缺點是計算量大，學生存在很大困難，望而卻步.

方法2叫做對數平均不等式法，此方法計算量小，但是適用范圍小，只有函數中包括指數或對數才有可能應用該方法.

方法3叫做換元法，即將雙變量化為單變量，學生比較容易理解，但計算量也不小.

五、非標準偏移問題

例1解決形如x1+x2>2m（或<2m）的標準形式的極值點偏移問題，至于其它非標準形式的偏移問題如何解決，接下來利用例2，例3加以說明和解釋.

例2 已知函數f（x）=lnx-ax有兩個零點x1，x2，求證：x1·x2>e2.

分析 此題不是標準形式的極值點偏移問題，我們用et代替x，則f（x）=lnx-ax轉換為g（t）=t-a·et，x1·x2>e2變為t1+t2>2.于是例2變成標準形式的偏移問題“已知函數g（t）=t-a·et有兩個零點t1，t2，求證：t1+t2>2”，由此可以利用方法2或者方法3很輕松的解決.

其實上面利用了“代替”思想，將“積”偏移轉化為“和”偏移.

例3 （“皖南八校”2018屆高三第三次聯考）已知函數f（x）=ex-x2-ax有兩個極值點x1，x2（x1

（1）求a的取值范圍；

（2）求證：ex1+ex2>4.

分析 （1）略.

（2）由題意可知，x1，x2是函數f ′（x）=ex-2x-a的兩個零點，此題不是標準形式的極值點偏移問題，可以用lnt代替x，則f ′（x）=ex-2x-a轉換成g（t）=t-2lnt-a，

ex1+ex2>4變為t1+t2>4.

例3變成標準形式的偏移問題“已知函數g（t）=t-2lnt-a有兩個零點t1，t2，求證：t1+t2>4”由此可以利用例1提供的方法可以解決.

通過例2，例3可知，利用“代替”的方式將非標準形式轉化為x1+x2>2m（或<2m）的標準形式，再利用三種方法進行解決.

那么極值點偏移問題怎么來的？它的“母體”是什么？如圖4所示：

由圖可知，極值點偏移是拉格朗日中值定理的特殊情況.

例4 函數f（x）=4lnx-12ax2（a>0），函數g（x）=f（x）-（a-4）·x，對于曲線y=g（x）上兩個不同的點A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2）），計直線AB的斜率為k，若k=g′（m），求證：x1+x2>2m.

證明 g（x）=4lnx-12ax2+（4-a）x，g′（x）=4x-ax+4-a，g″（x）=-4x2-a<0，從而g′（x）在（0，+∞）上單調遞減.

要證x1+x22>m，只要證g′（x1+x22）

因為g′（m）=g（x2）-g（x1）x2-x1

=4（lnx2-lnx1）x2-x1-12a·（x2+x1）+4-a

所以g′（x1+x22）=8x1+x2-a·x1+x22+4-a.

從而g′（m）-g′（x1+x22）

=4（lnx2-lnx1）x2-x1-8x1+x2 .

=4x2-x1·[lnx2x1-2（x2x1-1）x2x1+1]

不妨設x2>x1，x2x1=t>1，則lnx2x1-2（x2x1-1）x2x1+1=lnt-2（t-1）t+1=h（t），于是h′（t）=（t-1）2t（t+1）2>0.

所以h（t）在（1，+∞）上單調遞增，即h（t）>h（1）=0，4x2-x1>0，從而g′（x1+x22）m，x1+x2>2m，證畢.

總結 極值點偏移常用三種方法，各有各的優點和不足，掌握這些策略，并且知道它是拉格朗日中值定理的特殊情況（AB//x軸），就可以從害怕偏移到喜歡偏移問題.

參考文獻：

[1]劉彥永，盧軍一題一課 高中數學好題賞析[M].浙江：浙江大學出版社，20179.

[2]方亞斌一題一課 源于課本的高中數學賞析[M].浙江：浙江大學出版社，20179.