高考中一類抽象函數不等式解法的探究

摘 要：以微專題的形式對一類抽象函數不等式解法進行歸納復習，透析知識點背后的本質，探索這類試題的通性、通法，從而提高學生的解題能力.

關鍵詞：抽象函數不等式；函數單調性；構造函數

基金項目：本文是福建教育學院2017年基礎教育研究立項課題“微專題視角下的高三數學復習策略研究”（編號JYYB-2017001）的階段性研究成果.

作者簡介：康曉全（1969-），男，福建龍海人，本科，中學高級教師，研究方向：數學教育研究.

縱觀近幾年的高考試卷，有關抽象函數不等式的題目考頻較高.作為考查函數性質、導數運算、導數在函數中的應用的有效載體，它已成為高考命題的熱點.因此，本文把一類抽象函數不等式解法作為一個微專題，探究此類問題的一般解法.

解抽象函數不等式本質上是函數單調性質的一個應用，根據教材對函數單調性定義的敘述（以單調增函數為例），可以得到函數單調性質：若f（x）在區間I上單調遞增，對任意x1，x2∈I，且f（x1）>f（x2），則x1>x2.性質可改寫成：（1）單調增函數f（x）；（2）f（x1）>f（x2）（x1，x2∈I）；（3）x1>x2.則由（1），（2）（3）.

下面分別根據條件（1），（2）的三種不同呈現方式做歸納總結.

一、條件（1）呈現為：函數的奇偶性、單調性的條件是顯性的

例1 （2017全國Ⅰ卷，理5）函數f（x）在（-∞，+∞）單調遞減，且為奇函數.若f（1）=-1，則滿足-1≤f（x-2）≤1的x的取值范圍是（ ）.

A.[-2，2] B.[-1，1] C.[0，4] D.[1，3]

解析 因為-1≤f（x-2）≤1，且f（x）為奇函數，所以f（1）≤f（x-1）≤f（-1）結合單調性可知-1≤x-2≤1所以1≤x≤3.

例2 （2016天津，理13）已知f（x）是定義在R上的偶函數，且在（-∞，0）單調遞增，若實數a滿足f（2a-1）>f（-2），則a的取值范圍是.

解析 由題意f（x）在（0，+∞）單調遞減，又f（x）是偶函數，f（2a-1）>f（-2）轉化為f（2a-1）>f（2），結合單調性可知2a-1<2，所以a-1<12.解得12

解法感悟 函數在定義域內單調變式為不單調，常結合偶函數性質考查，利用偶函數對稱性再數形結合去掉“f”，解不等式.

二、條件（1）呈現為：函數的奇偶性、單調性的條件是隱性的

例3 （2017江蘇卷，理11）已知函數f（x）=x3-2x+ex-1ex，其中e是自然對數的底數，若f（a-1）+f（2a2）≤0，則a的取值范圍是.

解析 易證f（-x）=-f（x），所以f（x）是R上的奇函數，又f ′（x）=3x2-2+ex+1ex≥3x2-2+2ex·1ex=3x2≥0，所以f（x）在R上單調遞增.

因為f（a-1）+f（2a2）≤0，所以f（a-1）≤-f（2a2）即f（a-1）≤f（-2a2）所以a-1≤-2a2.

解得-1≤a≤12.

例4 （2015全國Ⅱ，文12）設函數f（x）=ln（1+|x|），則使得f（x）>f（2x-1）成立的x的取值范圍是（ ）.

A.13，1 B.-∞，13∪（1，+∞）

C.-13，13D.-∞，-13∪13，+∞

解析 由f（x）=ln（1+|x|）-11+x2可知f（x）是偶函數，且在[0，+∞）是增函數.

所以f（x）>f（2x-1）f（|x|）>f（|2x-1|）|x|>|2x-1|13

解法感悟 雖然條件中給出具體函數解析式 ，但不要代入函數使不等式具體化，而是要通過探究函數的奇偶性和單調性，再數形結合去掉“f”，解不等式.

三、條件（1），條件（2）為隱性呈現

需根據所給條件，結合導數運算構造一個新函數，再利用新函數單調性及導數在函數單調性中的應用，或數形結合思想，去掉“f”，解不等式.

例5 （2015全國Ⅱ，理12）設函數f ′（x）是奇函數f（x）（x∈R）的導函數，f（-1）=0，當x>0時，xf ′（x）-f（x）<0，則使得f（x）>0成立的x的取值范圍是（ ）.

A（-∞，-1）∪（0，1）

B （-1，0）∪（1，+∞）

C （-∞，-1）∪（-1，0）

D （0，1）∪（1，+∞）

解析 記函數g（x）=f（x）x，則g′（x）=xf ′（x）-f（x）x2.

因為當x>0時，xf ′（x）-f（x）<0，故當x>0時，g′（x）<0，所以g（x）在（0，+∞）單調遞減；

又因為函數f（x）（x∈R）是奇函數，故函數g（x）是偶函數，所以g（x）在（-∞，0）單調遞減，且g（-1）=g（1）=0.

當00，則f（x）>0；當x<-1時，g（x）<0，則f（x）>0.

綜上所述，使得f（x）>0成立的x的取值范圍是（-∞，-1）∪（0，1）.故選A.

解法感悟 在熟悉基本求導法則和公式的基礎上，所給條件往往會給我們提供構造一個輔助函數的依據，考查輔助函數的奇偶性、單調性，再數形結合去掉“f”，解不等式.

幾種導數的常見構造：

1對于f ′（x）>g′（x），構造h（x）=f（x）-g（x）；

2對于f ′（x）+g′（x）>0，構造h（x）=f（x）+g（x）；

3 對于xf ′（x）+f（x）>0，構造h（x）=xf（x）；

4 對于xf ′（x）-f（x）>0，構造h（x）=f（x）x；

5對于f ′（x）+f（x）>0，構造h（x）=exf（x）；

6 對于f ′（x）-f（x）>0，構造h（x）=f（x）ex.

如何更好地進行高三復習才能收到事半功倍的效果，是教師們一直在不斷探索的方向.本文通過將近幾年高考試題融入微專題的復習當中，精心講解，透析試題背后的本質，讓學生掌握解決此類問題的通性、通法，進而達到較好的復習效果.

參考文獻：

[1] 蘇藝偉 五環節教學，提升習題課品質[J].中國數學教育，2017（09）：：22-26.