微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

（東莞市技師學(xué)院 廣東東莞 523000）

引言

數(shù)學(xué)是一科重要而且極為基礎(chǔ)的學(xué)科，把數(shù)學(xué)的研究思想引入到經(jīng)濟(jì)學(xué)里，為經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究提供了簡(jiǎn)便與適用的方法，由計(jì)數(shù)、計(jì)算對(duì)事物變化的觀察中產(chǎn)生。隨著數(shù)學(xué)這個(gè)學(xué)科的發(fā)展，數(shù)學(xué)已經(jīng)逐步的深入到各個(gè)領(lǐng)域。在經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)等學(xué)科中，數(shù)學(xué)更是發(fā)揮了及其重要的作用[1]。用數(shù)學(xué)理論研究宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)、微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)，用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)與分析，已經(jīng)越來(lái)越普遍。隨著近現(xiàn)代微積分理論的發(fā)展，經(jīng)濟(jì)學(xué)也在經(jīng)歷著飛速的變化，微積分是由于生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步、經(jīng)濟(jì)社會(huì)的發(fā)展而產(chǎn)生的。特別是隨著計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，建立微積分模型來(lái)解決經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題，成為了實(shí)現(xiàn)高效決策和精確決策的重要途徑。微積分等數(shù)學(xué)知的運(yùn)用是在經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題的研究中努力的方向和目標(biāo)。

一、導(dǎo)數(shù)在彈性供給問(wèn)題分析

微積分是微分學(xué)和積分學(xué)的統(tǒng)稱，它的萌芽、發(fā)生與發(fā)展經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的時(shí)期。早在古希臘時(shí)期，歐多克斯提出了窮竭法。這是微積分的先驅(qū)，而我國(guó)莊子的《天下篇》中也有 “ 一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭 ” 的極限思想，公元 263 年，劉徽為《九間算術(shù)》作注時(shí)提出了 “割圓術(shù) ”，用正多邊形來(lái)逼近圓周。這是極限論思想的成功運(yùn)用。積分概念是由求某些面積、體積和弧長(zhǎng)引起的，古希臘數(shù)學(xué)家要基米德在《拋物線求積法》中用究竭法求出拋物線弓形的面積，人沒(méi)有用極限，是 “ 有限 ” 開(kāi)工的窮竭法。但阿基米德的貢獻(xiàn)真正成為積分學(xué)的萌芽。微分是聯(lián)系到對(duì)曲線作切線的問(wèn)題和函數(shù)的極大值、極小值問(wèn)題而產(chǎn)生的。微分方法的第一個(gè)真正值得注意的先驅(qū)工作起源于 1629 年費(fèi)爾瑪陳述的概念，他給同了如何確定極大值和極小值的方法。需求價(jià)格彈性指的是某商品的需求量對(duì)其價(jià)格變動(dòng)的反應(yīng)程度。它可以用價(jià)格系數(shù)來(lái)表示[2]。本小節(jié)主要分析供給彈性問(wèn)題，其中導(dǎo)數(shù)對(duì)供給彈性問(wèn)題的影響。所謂供給彈性，表示一定時(shí)期的一種商品的供給量的相對(duì)變動(dòng)對(duì)于該商品的價(jià)格的相對(duì)變動(dòng)的反應(yīng)程度[3]。其中，供給彈性是用來(lái)表示商品供給量的變動(dòng)率對(duì)于價(jià)格的變動(dòng)率的反應(yīng)程度的。若供給函數(shù)為Q=f(p)，則供給價(jià)格彈性記做Es，定義為

一般地，假設(shè)函數(shù)Q=f(p)是單調(diào)增加的，由于f′(p)＞0，p＞0，f(p)＞0，所以供給價(jià)格彈性Es取正值，供給價(jià)格彈性簡(jiǎn)稱供給彈性。

市場(chǎng)需求函數(shù)為Q需=1 2 -p2，市場(chǎng)供給函數(shù)為Q供=p2+4，當(dāng)市場(chǎng)達(dá)到均衡（需求量等于銷售量）時(shí)，供給彈性是多少？

解 由于供給彈性是供給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)（1.4）及已知條件可知Q供=p2+4，因此，供給彈性為

因?yàn)槭袌?chǎng)均衡時(shí)即為市場(chǎng)對(duì)該產(chǎn)品的需求量等于銷售量，即Q需=Q供時(shí)達(dá)到市場(chǎng)均衡，因此知1 2 -p2=p2+4，解得p2=-2（舍），于是

Es=2 × 2=4，即市場(chǎng)均衡時(shí)供給彈性為4。

影響產(chǎn)品供給彈性的因素有很多，例如當(dāng)增加產(chǎn)品所需消耗的生產(chǎn)要素費(fèi)用過(guò)大時(shí)，該產(chǎn)品的彈性系數(shù)較小，反之則較大。此外，生產(chǎn)產(chǎn)品的時(shí)間長(zhǎng)短也是影響產(chǎn)品供給彈性的因素之一，若短時(shí)期內(nèi)廠商只能在固定的廠房設(shè)備下增加產(chǎn)量，此時(shí)供給量變化有限，則該產(chǎn)品彈性較小，反之較大。

二、微積分學(xué)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

1.成本控制問(wèn)題應(yīng)用

（3）產(chǎn)量為多少時(shí)，平均成本最低。

解：由于平均成本是邊際成本的原函數(shù)，所以對(duì)邊際平均成本函數(shù)積分便可以得到平均成本函數(shù)因此有

（1） 已知邊際成本函數(shù)，求總成本函數(shù)。

設(shè)用函數(shù)M C表示邊際成本函數(shù)，表示平均成本，Q為產(chǎn)量，C(Q)為總成本，則

（2）因?yàn)榭偝杀竞瘮?shù)等于平均成本函數(shù)與產(chǎn)量Q的乘積，即

積分學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用十分普遍且起到重要作用，尤其是在已知邊際函數(shù)求原函數(shù)的問(wèn)題中。利用一元函數(shù)積分學(xué)可以方便快捷的求出原函數(shù)，使得經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的求解方法更加多樣化。同時(shí)，也使數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一元函數(shù)積分學(xué)的運(yùn)用范圍更加廣闊。

2.分期付款問(wèn)題應(yīng)用

王明是一名大一的學(xué)生，他想兼職并且利用分期付款的方式買(mǎi)一部手機(jī)，他了解到:某手機(jī)店對(duì)他想買(mǎi)的那種型號(hào)的手機(jī)進(jìn)行付款銷售。手機(jī)的銷售定價(jià)是4000人民幣。分期購(gòu)買(mǎi)時(shí)，分期36月，月還款額為150元。銀行貸款信息為，低于5000的貸款，年利率為15%（36月內(nèi)）。試問(wèn)，該選擇銀行貸款，還是分期付款？

解:

如果貸款，三年還清，那么王明每月要還款

這里r=（（0.15））?12=0.125為月利率。計(jì)算結(jié)果表明，王明應(yīng)該以貸款（每月還款139元）而不是分期付款（每月還款150元）的方式來(lái)購(gòu)得他想買(mǎi)的該型號(hào)的手機(jī)。

3.利潤(rùn)最大化問(wèn)題應(yīng)用

某種產(chǎn)品生產(chǎn)x件的邊際成本為C′(x)=5+0.2x元，固定成本2000元，又知每件產(chǎn)品的零售價(jià)為50元，試求產(chǎn)量x為多少時(shí)利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)值是多少？

解 因?yàn)樽兩舷薜亩ǚe分就是被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，因此可變成本就是總成本函數(shù)的變化率C′(x)在[0,x]上的定積分，又知固定成本為2000元，所以根據(jù)（2.1）有總成本函數(shù)

設(shè)銷售x件產(chǎn)品的收入函數(shù)為R(x)，依題意有：R(x)=50x。利潤(rùn)函數(shù)l(x)為

即產(chǎn)量為125時(shí)可獲得的最大利潤(rùn)為2062.5元。

從以上例子中可以看出，利用定積分研究經(jīng)濟(jì)函數(shù)，有助于實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)的最大化。

結(jié)語(yǔ)

本文介紹了微積分學(xué)知識(shí)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用。利用微積分學(xué)知識(shí)可以對(duì)許多經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行定量的分析，解決實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，便于做出選擇和判斷。