淺談“構造法”在解題中的妙用

（湖北省嘉魚縣教研室 湖北嘉魚 437200）

構造法是運用數學的基本思想經過認真的觀察，深入的思考、分析，遷移聯想，正確思維，巧妙地、合理地構造出某些元素、某種模式，使問題轉化為新元素的問題，或轉化為新元素之間的一種新的組織形式，從而使問題得以解決，這種方法稱之為“構造法” .

怎樣構造呢？構造法的內涵十分豐富，沒有完全固定的模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現實問題的特殊性為基礎，針對具體問題的特點而采取的相應的解決方法，基本的方法是：借用一類問題的性質，來研究另一類問題的思維方法，在解題過程中，若按習慣定式思維去探求解題途徑比較困難時，我們可以根據題目特點，展開豐富的聯想拓寬自己的思維，運用構造法解題也是培養我們創新意識和創新思維的手段之一，同時對提高我們的解題能力也有所幫助。[1]

案例：人教版八（上）教材第130頁第11題：一次越野賽跑中，當小明跑了1600米時，小剛跑了1450米，此后兩人分別以a米/秒和b米/秒勻速跑，又過100秒時小剛追上小明，200秒時小剛到達終點，這次越野賽跑的全程為多少？[2]

思考：本題從表面上似乎與函數沒有關聯，但卻可以構造函數關系并運用函數的相關知識予以解決，由于小明和小剛兩人是勻速跑，我們可以將路程y看成是時間x的一次函數，依題意可畫出如下函數圖象（圖1）：

根據函數圖象，可設y1=bx+1450，y2=ax+1600，當x=100時，y1=y2；當x=200時對應的與x=300時對應的相等，及100a+ 1600=100b+1450，200b+ 1450=300a+1600，聯立解得a=1.5，b=3，故此次越野跑的全程為：200×3＋1450=2050.

回顧本題的解答過程，通過巧妙地構造一次函數并通過函數圖象形象、直觀地使問題得以解決，思維活躍，解法新穎，令人回味！

思考：盡管本道題超出了課程標準要求（可化為一元二次方程的分式方程問題），但我們仍能打破常規，從中體會到構造法的妙用！可以將方程兩邊分別

反思：本道題的初衷是將分式方程轉化為一元二次方程，再通過判斷一元二次方程解的個數得到原分式方程解的個數，可在上述解決問題過程中，通過構造兩個函數，將判斷方程解的個數問題轉化為判斷兩個函數圖象交點個數問題，既體現了方程與函數的本質聯系，又發散了思維，培養了創新意識，數學課程標準（2011版）明確指出，創新意識的培養應該從義務教育階段做起，貫穿數學教育的始終，而創新意識正是學生所缺乏的.我們不能錯失這樣的好機會！

可以看到，構造法雖然算不上是解決數學問題的一般方法，其技巧性較強，但是在數學很多領域都有它的身影，只要我們發散思維，豐富聯想，合理構造，勇于創新，它就在你身邊！對“構造法”的理解和運用有助于我們打破思維定勢，完善思維品質，達到解題境界上的升華！