非線性電容RLC串聯電路的2次超諧共振分析

李高峰

(唐山學院 基礎部，河北 唐山 063000)

0 引言

以變容二極管、參數放大器、混音器、傳感器等裝置設計電路時，電子元器件通常用非線性電容。詹士昌等研究了非線性RLC串聯諧振電路[1]。黃偲等給出了一類非線性RLC電路的新解法及數值仿真，從而算出電路的相軌線、時程曲線、相程曲線、時幅曲線、相幅曲線、幅頻曲線、相頻曲線和響應周期，數值仿真顯示，結果與數值積分法吻合良好[2]。丁光濤利用Lagrange力學逆問題理論和方法，構造了電感、電容和電阻三種耦合RLC電路的Lagrange函數和Hamilton函數[3]。郭曉瑩等在電容耦合RLC電路中，通過改變外部信號源的頻率，測量了傳輸到第一個RLC回路的功率隨信號頻率的變化關系[4]。楊志安等研究了非線性RLC電路與板和微梁耦合系統的非線性動力學問題[5-7]。潘杰等對RLC并聯諧振電路進行了理論研究[8]。B.Nana等研究了鐵磁磁芯電感器件的非線性，分析了在由交流電源強迫的RLC串聯電路中電流的解析表達式[9]。國外學者還對非線性RLC電路動力學問題和系統產生混沌現象的條件等進行了研究[10-12]。

筆者曾對非線性電容RLC串聯電路進行過主共振和亞諧共振的研究[13-15]。現本文從超諧視角，以RLC串聯電路的振動微分方程為研究對象，研究非線性電容RLC串聯電路系統的2次超諧共振問題。

1 RLC串聯電路的振動方程

根據拉格朗日-麥克斯韋方程，可得到該系統的運動微分方程為

(1)

對式(1)進行處理，可得著名的Duffing方程為

(2)

2 2次超諧共振理論分析

弱非線性振動在非線性和阻尼項前面冠以小參數ε，可得

(3)

應用多尺度法求2次超諧共振微分方程，設

q(T)=q0(T0，T1)+εq1(T0，T1)。

(4)

將式(4)代入式(3)得到一組線性偏微分方程

D02q0+ω02q0=fcosωt，

(5)

D02q1+ω02q1=-2D0D1q0-2μD0q0-α2q02-α3q03。

(6)

方程(5)的解為

φn0(T0，T1)=A(T1)ejω0T0+BejωT0+cc，

(7)

(8)

將式(8)代入式(6)得

(9)

研究系統的2次超諧共振，引入調諧參數σ，由下式確定為

2ω=ω0+εσ，σ=o(1)。

由式(9)得消除永年項的條件為

(10)

(11)

相應的一次近似解為

(12)

令式(11)中D1a=0，D1φ=0，消去φ，得到2次超諧共振的幅頻響應方程

(13)

(14)

從方程(13)中解出σ為a的函數，得

(15)

3 數值實例分析

應用Matlab軟件對式(13)進行計算，可以得到RLC串聯電路2次超諧共振的響應曲線(見圖1)，數值計算中，電子元器件的基本參數為：電阻R=15 Ω，電動勢Em=25 V，電感L=15 H，線性電容C0=0.001 F。

(a)Em (b)C0

(c)L (d)R圖1 系統的超諧共振響應曲線

圖1中系統的超諧共振響應曲線具有跳躍現象和滯后現象。電動勢作為系統的供能元件，電容、電阻和電感作為耗能元件，其數值變化時對系統振幅以及共振區域均有影響。由圖1(a)到圖1(c)可知，電動勢、線性電容和電感增大時，系統的共振幅值均增大，且圖1(a)和圖1(b)的共振區域依次增大，而圖1(c)共振區域隨振幅的增大而變窄。圖1(d)中隨著電阻值的增大系統的共振幅值和區域都減小，這是因為電阻抑制系統的非線性，電阻增大時電流減弱，電路中的電荷也相應減少。

圖2為調諧值變化時電動勢-振幅響應曲線，電動勢增大時振動幅值增大，整個電路中電流增大，電荷增多。圖3為振幅隨電容變化的響應曲線，隨著電容的增大，振幅也增大。圖4為振幅隨非線性電荷系數k2變化的響應曲線，隨著k2的增大，振動幅值也增大。圖5為振幅隨非線性電荷系數k3變化的響應曲線，隨著k3的增大，振動幅值減小，但應注意的是，σ>0時曲線振幅隨非線性電荷系數增大先增大再減小。綜合圖2-5可知，當σ>0時，隨著電動勢、電容、非線性電荷系數等參數的增大，RLC串聯電路的響應曲線具有跳躍現象和滯后現象；在σ<0時，參數增大時系統振動幅值逐漸增加，不出現跳躍現象和滯后現象。

圖2 電動勢-振幅響應曲線

圖3 電容-振幅響應曲線

圖4 非線性電荷系數k2-振幅響應曲線

圖5 非線性電荷系數k3-振幅響應曲線

圖6為電阻-振幅響應曲線，調諧值越大系統的振動幅值滯后性越強，逐漸出現了跳躍現象，與圖1(b)比較可知，在σ=0且電阻增大時，振動幅值緩慢減弱，最終趨于穩定。圖7為振幅隨電感變化的響應曲線，當調諧值增大，系統的振動幅值減小；當σ>0時，隨著電感的增大系統的振動幅值減小，并趨于穩定；當σ=0時，隨著電感的增大系統的振動幅值增大。

圖6 電阻-振幅響應曲線

圖7 電感-振幅響應曲線

4 結論

應用多尺度法得到非線性電容RLC串聯電路系統2次超諧的幅頻響應方程。電路中的非線性振動是由電路中的移動電荷造成的，電阻增大電路中的電流減小，同時電荷數減少，振動的振幅相應減小，此時電阻對振幅有抑制作用。當σ>0時，隨著電動勢、電容、非線性電荷系數k2與k3等參數的增大，RLC串聯電路的響應曲線具有跳躍現象和滯后現象。