小概率事件原理及其應用

（江西省宜春市奉新縣第一中學 江西宜春 330700）

以數據為基礎，研究生活中隨機事件及其科學規律的一門學科稱為概率論，其廣泛運用于保險精算，彩票及風險評估等領域.概率論起初研究“賭博問題”，它的創立者費馬，惠更斯，帕斯卡，對排列組合方法的應用，成功解決了賭徒的“賭注劃分問題”，概率論就此應運而生。

概率是衡量事物發生大小的尺度，一般用數學符號p表示。p屬于[0.1]區間之中，一般把概率為1的事件稱為必然事件，概率為0的事件稱為不可能事件，他們相互對立。

我們將p接近于0的事件稱為小概率事件。小概率事件的數學標準為：p＜0.05或p＜0.01。

小概率事件，通俗的講就是發生的可能性小的事件，雖發生然可能性小，但是不代表不會發生。在概率學中我們定義為：概率很接近于0（即在大量重復試驗中出現的頻率非常低）的事件稱為小概率事件。然而在生活中，小概率事件的發生卻不是少有的事情。比如，四川九寨溝縣發生7.0級地震，北京地區出現日全食，飛機失事，某人買彩票中了頭等獎，等等，都是小概率事件。在某些重要場合，當事件的發生會帶來嚴重后果（飛機失事）時，概率值應選的更小一些比如0.001。當事件的產生后果嚴重時，小概率事件的閾值更小一些，視情況而定。另一方面，在大量重復獨立試驗中小概率事件必然會發生，也從數學角度解釋了“水滴石穿”，“常在河邊走，哪有不濕鞋”。

定理二：（伯努利大數定律）在n次獨立重復試驗中，記事件A發生的次數是nA，p是A發生的概率，則對于任意ε>0，有由“定律”可知，當獨立重復試驗一直進行很多次時，事件發生的頻率收斂于其概率。獨立重復試驗次數n足夠大，事件發生的頻率和概率沒有多大的差別，因此發生概率很小的事件在大量重復試驗中發生的頻率也就很高。

在平常生活中，人們常常用“只要功夫深鐵杵磨成針”來形容有志者事竟成。但是也有人認為這是不可能的，如果從概率的角度來說，就會發現很有道理，這是為什么？

這個問題就等價于：假設H“小概率事件一定會發生”

證明過程如下：

設在一次隨機事件中事件A發生的概率為ε（ε>0），當ε趨近于無窮小，在n次獨立重復試驗下，A遲早出現的概率為多少？

解：設A遲早出現為事件B

第一次試驗中A不出現的概率為1-ε

p（B）這說明小概率事件遲早會發生的概率為1

假設檢驗的原理是小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發生，它的基本思想實質上是帶有某種概率性質的的反證法。在總體分布未知的情況下，提出關于總體的假設，為了推斷總體的未知特性，我們需要根據樣本所提供的信息，運用適當的統計量，面對所提出的假設進行判定，假設檢驗是確定假設正確與否的過程。

例：為了檢驗某廠生產的產品質量，采取隨機抽取的方法，從生產的一批產品中的200件，檢查結果發現有5件質量不合格，請問是否符合合格率為99.5%的標準？

解：合格率為99.5%，說明不合格率小于或等于0.5%

在檢測的200件產品中，5件不合格產品的概率

例：在醫學界，醫療方法多樣，同樣一個病癥可以用中醫也可以用西醫治療，但是療效卻不一樣。過去治療腫瘤，如果采用化學療法，治愈率是2%，如果采用外科手術法，治愈率是3%，某醫生治療對200名患者采取外科手術進行治療方法，治愈了6人，那么可以根據治愈率判斷治療方法的效果嗎?

解：假設H0∶治愈率P=0.02H1∶治愈率P＞0.02

設X表示治愈患者得數，則X=0.1.2.3….200.由于每個患者的治療是均等的，隨機的，治療的結果為成功或失敗，因此x～B（200.p），當H0成立，p=0.02，λ=np=4 ，可用泊松分布來近似二項分布。

H0成立，治愈人不能過大，設臨界值C，給定的顯著性水平a=0.05，有p[拒 絕成立]=p[成 立]由泊松分布表可知所以當C=8時，拒絕域（X>8），樣本x=6，所以不能拒絕假設，不能斷定外科療法比化學法好。

對小概率事件的研究和分析，可以給我們的統計和決策提供嚴格的數學依據。分析它，是為了更好的利用它，控制發生條件，讓人們更好的認識清楚小概率事件，使其朝著我們期望的方向發展，減少其破壞性。我們應該對其保持正確的態度，懷著貢獻福利事業的心去購買彩票，當你購買一份意外保險時，等于買了一份心理保障，拒絕參加街頭博彩的騙局。所以說小概率事件的研究無論是生活上，還是工作中都是十分有意義的。