圖形與幾何：培育數學合情推理能力的有效載體

在小學數學教學中，培養學生的推理能力，尤其是合情推理能力是一項重要任務。在《義務教育數學課程標準（2011年版）》中，明確將合情推理作為培養目標，意在糾正過去的數學教學一貫只重嚴謹、邏輯性的做法。因為小學生自身的認知能力較弱，學習較強的邏輯性推理知識時不能內化知識，而是浮于表面的記憶。而合情推理是讓學生“從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等思維方式猜測或推斷出某些結果”，以這樣的探索思路、發現結論的推理更契合學生思維發展的順序和層次，更具合理性。反觀當前的教學實踐，學生的合情推理能力普遍缺失，而小學教材中的“圖形與幾何”知識板塊，對培養學生合情推理能力有著獨特的優勢，數學教師可針對這一內容加強教學研究，以有效培養學生的合情推理能力。

一、學生數學合情推理能力的缺失

合情推理能力是小學數學的基本思維方式之一，應貫穿數學學習的整個過程。然而，當下的數學教學往往以功利性的成績提升為目的，重結論灌輸輕推理過程，學生好知識識記而惡思考反思，這使得學生的合情推理能力缺失。

（一）教師重結論灌輸輕合情推理過程

在教學實踐中，不少教師的教學存在重演繹推理、輕合情推理的狀況。教師往往只滿足于證明現成結論，不夠重視引導學生經歷探索結論、提出猜想的過程。也有部分教師雖明白合情推理在教學中的價值，但對合情推理的基本概念缺乏認知，缺少培養學生合情推理能力的教學方法，這影響了學生合情推理能力的培養。

（二）學生好識記知識而惡思考反思

在學習過程中，大多學生傾向于識記現成的結論，而不愿思考這個結論為何而來和如何得來。這種思維習慣多是由于功利性地追求成績提升而導致的。例如：學生在幼兒園就知道并牢牢記住了1+1=2，他們在學習時只是將其作為一個概念性知識記住，而不涉及推理。到了小學，要從加法的本質上理解其中算理，學生就會思維定式，不知道如何思考。加之考試往往只檢測結論，很少考查推理過程，也影響學生對合情推理能力的關注。思考推理的“多投入”和簡易識記似乎是同樣的產出，功利性地對比，學生往往選擇簡單機械的識記作為主要的學習方式。

二、“圖形與幾何”與數學合情推理的契合

學生的合情推理能力是系統發展而來的，需要靠平時的點滴學習來激活，數學教學承擔著“激活”的職責，教師應重視培育學生的合情推理能力。而在小學數學教材中，“圖形與幾何”知識板塊本身具有的空間特性和符號特點，對學生合情推理能力的培養有著獨特的價值和優勢。

（一）合情推理能力的內涵與特點

“推理”是思維的基本形式之一，是由一個或幾個已知的判斷（前提）推出新判斷（結論）的過程，而“合情推理能力”則是一種根據周圍環境和活動，找出其內在的邏輯關系，從而推理出符合邏輯結論的能力。

推理應“合情”。推理并不是一個獨立于知識技能之外的活動，也不是一個單列的教學體系，而是蘊含于日常生活、融合在日常教學之中的。“合情”就是指它可用具體事例、漸進過程讓學生去體驗、感悟，讓學生從中體悟“推理”的背景與前提，能夠從整體上把握“理”。從學生的可接受性來看，相比演繹推理，學生更愿意接受觀察、猜測、比較、不完全歸納等學習方式，更易接受“非嚴謹、可猜測”的合情式推理。

推理指向“理”。推理的“理”是一個推演整理的理性過程，還可以理解為一條線索，學生可以循著這條線索，逐漸推導出一個個結論。

（二）“圖形與幾何”知識板塊對培養學生合情推理能力具有獨特的優勢

蘇教版數學教材中的“圖形與幾何”知識板塊在小學數學的學習過程中發揮著無可替代的作用。“圖形與幾何”所涉及的圖形抽象、分類、公式推導等內容推理教學具有獨特的優勢，較典型的當屬“圖形的面積計算”這一知識點。從蘇教版數學三下的“長方形和正方形面積計算”，五上的“平行四邊形、三角形、梯形面積計算”，五下的“圓面積的計算”來看，這些公式的推導，教材都安排了豐富的活動，有層次地設計具有啟發性的問題串，引導學生在直觀操作、觀察比較、分析相關數據的內在聯系中，發現規律，從而推導出公式。每一個公式的推導都是一次完整的合情推理的過程，學生從中學得深刻、理解得透徹。

三、巧用“圖形與幾何”培養學生的合情推理能力

培養合情推理能力是一個由簡到繁、從局部到整體的過程。在教學中，教師可以根據教材的編排意圖和學生的現有水平，整合教材中“幾何與圖形”知識內容，合理設置不同的教學層次與目標，帶領學生經歷合情推理的過程，讓學生逐漸了解和掌握合情推理的思考過程和推理形式，達到培養學生合情推理能力的目的。[1]

（一）基于年段差異，循序漸進有側重

推理能力的形成和提高需要一個長期的、循序漸進的過程。因此，合情推理能力應基于學生年齡特點，在低、中、高年段循序漸進、差異化實施。

1.小學低年段：引導學生初步感受合情推理的過程。

低年段所涉及的推理，主要是一些“簡單推理”，在“圖形與幾何”知識板塊中，教師可以提供直觀圖形幫助學生有順序、有條理地判斷，讓學生用自己的語言來描述推理過程，適時創造機會，讓學生積累推理經驗。

例如：在教學蘇教版一下《認識圖形》時，教師可以設計簡單圖形（如圖1）并引入教學，之后再增加一組復雜圖形（如圖2），加大難度，由淺入深地增強學生對圖形的感受，并從多個角度展開推理。（1）顏色推理：讓學生用自己的語言描述，感受判斷依據。（2）個數推理：根據規律判斷個數，感受判斷過程。（3）適當抽象：引導學生用類似“1，1，1，2，1，3……”的方式，逐漸感受“黑球總是1個”“白球逐漸增加”的規律。在低年段，學生的合情推理意識還處在啟蒙階段，教學時要注意給學生提供感受的機會，增加經驗。

圖1 簡單圖形

圖2 復雜圖形

2.小學中年段：指導學生學習合情推理的方法。

小學中年段學生的思維水平有了較大發展，因此本階段的教學重心是指導學生學習體驗合情推理的方法。教師可以從簡單枚舉推理開始，繼而引導進行科學歸納推理，讓學生在此過程中掌握推理方法。

例如：學習蘇教版三下《長方形的周長與面積》一課后，教師可以在練習中設計應用型問題：用長40cm的細繩圍一個邊長為整厘米數的長方形，怎樣才能使面積達到最大？問題解決可以沿著“獨立思考—枚舉比較—猜想—驗證猜想—獲得規律—推廣應用”的思路來進行。學生先用枚舉初步推測，再根據算式與結果的關系合情推理。經歷數學推斷的基本過程，讓學生獲得的結果具有扎實的事實基礎，使這一推斷過程成為學生今后獨立探索的成功范例，產生深刻的教育印跡。

3.小學高年段：強化學生利用合情推理能力解決問題。

小學高年段是與中學銜接的關鍵學習期，教師應強化學生對合情推理的應用。教師可以指導學生充分運用生活經驗、已有的數學知識以及推理方法獨立推理、解決問題，使學生在這一過程中，逐步構成程序化的操作，形成以數學方法和數學思維解決問題的探索品質。

例如：在教學蘇教版五下《圓的周長綜合應用》一課后，教師出示不完整材料：“經過這座大橋，自行車約轉了多少周？”

師：單憑問題，猜想已知條件是怎樣的？

生：可能會是已知大橋長度和車輪直徑。

師：解決這個問題，算式可能是什么呢？

生：我推測是大橋長度÷車輪周長。

師：如果用 2000÷（3.14×0.6）解決這個問題，你有什么推測？

生：我推測2000是橋長，0.6是車輪直徑，整個算式是求車輪轉的周數。

從問題出發引導學生逆向思考，讓學生基于個人經驗和知識進行合情推理，逐步明晰完整的情境，最后合情推理解決問題。相比教師常用的“例題講解—獲得方法—練習鞏固”這一固定的“單行線教學”，本案例中所實踐的“提出問題—合情推理—解決問題”這一“逆向結構”，使常見的“正向教學、反復操練”轉變為“雙向構建”，充分利用合情推理思維解決問題，提升高段學生的數學學習能力。

（二）基于類別特點，既有針對又有融合

合情推理能力包括不完全歸納和類比推理兩種，在“圖形與幾何”教學中，我們既應遵循這兩種推理的內在特點，又要基于學生發展和學習內容的特點，培養學生具有多種推理思維，學會融合與創新，不斷提升和豐富自身的合情推理能力。

1.不完全歸納推理。

不完全歸納是根據“個別”推斷“一般”的推理方式，以部分對象所具有的屬性推斷全部對象，這種推理方法有助于學生通過觀察思考發現新規律。在教學中，教師要根據這一特點，引導學生多觀察多思考，重視過程體驗，同時要盡可能多而廣地考察事物對象，做到“厚積”而“薄發”。

例如：在教學《長方形面積計算方法》時，教師可以設計實踐活動展開教學，讓學生在擺長方形、測量長方形面積和猜測長方形面積與什么有關的系列活動中知道公式的由來，體驗不完全歸納的推理方法，進而抽象出數學結論。同時，針對不完全歸納推理的“不完全”性，教師可以引導學生搜集生活實例佐證公式，通過歸納總結抽象出計算方法。這樣的“厚積薄發”是一種科學態度，也是應對不完全歸納結果或然性特點的重要策略。

2.類比推理。

類比推理是特殊到特殊的推理方法，是一種“由此及彼”的推斷。類比推理時教師可引導學生“瞻前顧后”：遇到新問題，想想有可能與哪些“前知識”有關；學習新知識，聯想可能會采用同樣方法的“后知識”。

例如：教學蘇教版六下《圓柱體積公式》的推導時，教師要全面了解它的“前知識”是五下的“圓面積的計算”和“長方體正方體的體積計算”，“后知識”是圓錐的體積計算，教學中應“瞻前顧后”，將舊知與新知建立聯系。把圓柱體積推導上升到體系之中，不僅要整理平面圖形面積推導系列和立體圖形體積推導系列的共同特點，也要由此及彼，引發學生對其他數學問題的思考。

3.合情推理與演繹推理相融合。

演繹推理和合情推理各有特點，前者重在嚴謹思考、結論可靠性高，后者重在探索發現，但結論可靠性相對低，兩者各有所長。在“圖形與幾何”知識板塊的教學中，教師可以基于兩種推理的不同內涵和學生年齡特點，取長補短，適切融合。

例如：在學習百分數知識后聯系圓面積知識，設計綜合習題，研究正方形與內接圓面積的關系。教師可以先引導學生在正方形內畫一個最大的圓，研究圓面積與正方形面積的關系。學生發現，不同學生設計的正方形和圓大小都不同，但圓面積都占正方形的78.5%，是巧合嗎？當學生思維陷入矛盾時，再引導學生進行數理證明。從前期簡單枚舉到后期嚴謹推理，讓學生經歷合情推理和演繹推理相融合的過程，進而獲得完整認識。

通過培養合情推理能力有助于打開學生的數學思維，不斷提高其數學學習能力。而小學數學教材中的“圖形與幾何”知識板塊是一個有效的載體，教師可以借此有的放矢、有計劃有層次地培養學生的合情推理能力。