變形構(gòu)造、動(dòng)態(tài)分析
——例談“含參數(shù)方程有解取值范圍問(wèn)題”的解題策略

（河南省商丘市民權(quán)縣民權(quán)縣高級(jí)中學(xué)高三（3）班 河南商丘 476800）

“含參函數(shù)方程有解取值范圍問(wèn)題”歷來(lái)是高考的熱點(diǎn)與難點(diǎn)。此類(lèi)問(wèn)題通常將函數(shù)、方程、不等式、解析幾何等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)融合在一起，需要綜合運(yùn)用多種解題技巧與思想方法。因此，學(xué)生遇到此類(lèi)問(wèn)題時(shí)往往無(wú)從下手，望而生畏。那么此類(lèi)問(wèn)題的該如何解決呢？

一、直接構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)分布

解析：此題涉及到兩個(gè)含參數(shù)的方程根之間的關(guān)系，如果直接利用解方程的思想很難找到題目的突破口。如果把方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，把根的關(guān)系看出零點(diǎn)的分布或者圖像的交點(diǎn)，那么，問(wèn)題的解決可能就會(huì)容易的多。一般情況下，方程根的問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題，因?yàn)楦菍?duì)方程的 “靜態(tài)”表述，而零點(diǎn)是對(duì)函數(shù)的“動(dòng)態(tài)”刻畫(huà)，借助運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)往往更容易找到問(wèn)題的突破口。

圖1

二、分離參數(shù)構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為圖像交點(diǎn)

通過(guò)構(gòu)造新的函數(shù)，零點(diǎn)往往又可以轉(zhuǎn)化為圖像的交點(diǎn)。在構(gòu)造新的函數(shù)時(shí)，往往遵循“一動(dòng)一定，一直一曲”的原則，這樣有助于復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化、直觀化。對(duì)于上述例題，我們還可以這樣解：于是函數(shù)與圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是，。如圖2所示，要滿(mǎn)足，則直線(xiàn)h(x)=a只能在A、B之間移動(dòng)，容易求得。

圖2

交點(diǎn)比零點(diǎn)更具靈活性，因?yàn)椴煌暮瘮?shù)視角，就會(huì)產(chǎn)生不同的交點(diǎn)。對(duì)于，上述例題，還有另外一種構(gòu)造方法：

圖3

（1）當(dāng)a＞0時(shí)，，

（3）當(dāng)a＜0時(shí)，要滿(mǎn)足，則直線(xiàn)g(x)只能在f(x)與的交點(diǎn)A、B之間滑動(dòng)。不妨設(shè)交點(diǎn)為，

解析：此題包含兩個(gè)參數(shù)，兩個(gè)參數(shù)相互制約，共同影響整個(gè)問(wèn)題的結(jié)論。因此，在解題時(shí)要關(guān)注參數(shù)的變化規(guī)律，從運(yùn)動(dòng)的視角分析臨界狀態(tài)下圖像相交的特點(diǎn)，從而找到問(wèn)題的突破口。

三、注變化規(guī)律，動(dòng)態(tài)分析臨界狀態(tài)

圖4

本題難點(diǎn)在于有兩個(gè)參數(shù)，如果能夠事先估計(jì)除參數(shù)的取值范圍，那么問(wèn)題的解答過(guò)程就會(huì)簡(jiǎn)潔的多。本題的解法還可以進(jìn)一步優(yōu)化：

上面是當(dāng)m=0與1時(shí)得到的取值范圍，還需要驗(yàn)證

對(duì)任意的m∈[0,1]，方程都有解。

而P點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)

圖5

“含參函數(shù)方程有解取值范圍問(wèn)題”往往比較抽象，直接運(yùn)用代數(shù)計(jì)算很容易陷入“山重水復(fù)疑無(wú)路”的困境，而采用數(shù)形結(jié)合就會(huì)迎來(lái)“柳暗花明又一村”的曙光。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵是通過(guò)變形，構(gòu)造函數(shù)，把方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)或者圖像交點(diǎn)來(lái)處理，然后立足運(yùn)動(dòng)變化的視角動(dòng)態(tài)分析圖像的變化規(guī)律，最終找到問(wèn)題的突破口。