解 直角三角形的應用

文 /劉雅菲 扶澤妃

解直角三角形在測量、航空、航海、工程等方面的應用廣泛.下面把解直角三角形的應用類型歸納如下，供你學習時參考.

一、仰角、俯角問題

例1如圖1，兩座建筑物的水平距離BC為60m，從C點測得A點的仰角α為53°，從A點測得D點的俯角β為37°.求兩座建筑物的高度（參考數據．

解：過點D作DE⊥AB于E，

則DE=BC=60m.

在Rt△ABC中，

圖1

∴AB=80（m）.

在Rt△ADE中，

∴AE=45（m），

∴BE=CD=AB-AE=35（m）.

答：兩座建筑物的高度分別為80m和35m．

點評：仰角是向上看的視線與水平線的夾角，俯角是向下看的視線與水平線的夾角．解決測量建筑物的高度問題要了解角與角之間的關系，找到與已知和未知線段相關聯的直角三角形.當圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構造直角三角形，在直角三角形中應用三角函數的定義求解.

二、方位角問題

例2某區域平面示意圖如圖2，點O在河的一側，AC和BC表示兩條互相垂直的公路.甲勘測員在A處測得點O位于北偏東45°，乙勘測員在B處測得點O位于南偏西73.7°，測得AC=840m，BC=500m．請求出點O到BC的距離．

解：作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，

則四邊形ONCM為矩形，

∴ON=MC，OM=NC.

設OM=x，則NC=x，AN=840-x，

在Rt△ANO中，∠OAN=45°，

∴ON=AN=840-x，

則MC=ON=840-x.

在Rt△BOM中，

∵BM+MC=BC，

圖2

解得x=480.

答：點O到BC的距離為480m．

點評：在解決有關方向角的問題中，有時所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要利用兩直線平行或余角的性質求出直角三角形的角度，利用三角函數的定義求解．

三、坡比問題

例3日照間距系數反映了房屋日照情況．如圖3，當前后房屋都朝向正南時，日照間距系數=L：（H-H1），其中L為樓間水平距離，H為南側樓房高度，H1為北側樓房底層窗臺至地面高度．

圖3

如圖4，山坡EF朝北，EF長為15m，坡度為i=1∶0.75，山坡頂部平地EM上有一高為22.5m的樓房AB，底部A到E點的距離為4m．

（1）求山坡EF的水平寬度FG；

（2）欲在AB樓正北側山腳的平地FN上建一樓房CD，已知該樓底層窗臺P處至地面C處的高度為0.9m，要使該樓的日照間距系數不低于1.25，底部C距F處至少多遠？

解：（1）在Rt△EFG中，

∵∠G=90°，

設EG=4x，則FG=3x，

∵EF=15，

∴5x=15，x=3，

∴FG=3x=9．

即山坡EF的水平寬度FG為9m.

（2）∵L=CF+FG+EA=CF+9+4=CF+13，

EG=4x=12，

H=AB+EG=22.5+12=34.5，H1=0.9，

∴ 日照間距系數=L：（H-H1）＝，

∵該樓的日照間距系數不低于1.25，

∴CF≥29．

答：要使該樓的日照間距系數不低于1.25，底部C距F處至少29m遠．

點評：坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比.它是一個比值，體現了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i=1：m的形式．正確將坡比轉化為直角三形中兩條直角邊的比是解這類問題的關鍵.

四、其他問題

例4如圖5，窗框和窗扇用“滑塊鉸鏈”連接，圖7是圖6中“滑塊鉸鏈”的平面示意圖，滑軌MN安裝在窗框上，托懸臂DE安裝在窗扇上，交點A處裝有滑塊，滑塊可以左右滑動，支點B，C，D始終在一直線上，延長DE交MN于點F.已知AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，BD=40cm．

（1）窗扇完全打開，張角∠CAB=85°，求此時窗扇與窗框的夾角∠DFB的度數；

（2）窗扇部分打開，張角∠CAB=60°，求此時點A，B之間的距離（精確到0.1cm）．

圖5

圖6

圖7

解：（1）∵AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，

∴四邊形ACDE是平行四邊形，

∴ AC∥DE，

∴∠DFB=∠CAB，

∵∠CAB=85°，

∴∠DFB=85°.

（2）如圖7，作CG⊥AB于點G，

∵AC=20，∠CGA=90°，∠CAB=60°，

∵BD=40，CD=10，

∴CB=30，

∵BG2=BC2-CG2，

即A，B之間的距離為34.5cm．

點評：解實際問題的思考方法是：①將實際問題抽象為數學問題（畫出平面圖形，構造出直角三角形，把實際問題轉化為解直角三角形的問題，本題給出了平面圖形）；②根據題目已知條件選用適當銳角三角函數或邊角關系去解直角三角形，得到數學問題的答案，從而得到實際問題的答案．