空間幾何體的表面積與體積的計算

■鄒弘毅

多面體的側面積是所有側面的面積之和,多面體的表面積是側面積與底面積之和。解題時,要掌握柱、錐、臺和球的表面積與體積公式。下面介紹幾種計算空間幾何體的表面積與體積的方法,供大家參考。

一、公式法

例1 已知圓柱的上,下底面的中心分別為O1,O2,過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為____。

解：由題意可設圓柱的底面直徑為2R,則高為2R。由過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,可得4R2=8,解得R=2。故該圓柱的表面積為π(2)2×2+22π×22=12π。

評析:解答本題的關鍵是求出圓柱的底面半徑和高。

二、等體積法

例2 如圖1,直三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長均為2,D為棱B1C1上任一點,則三棱錐D-A1BC的體積是____。

圖1

解：由題意可知,直三棱柱ABC-A1B1C1為正三棱柱。由D為棱B1C1上任一點,可得S△BCD=×2×2=2,點A1到平面BCC1B1的距離d=。評析:本題考查棱柱的結構特征,考查利用等體積法求多面體的體積的方法。

三、構造法

例3 如圖2所示,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E為AB的中點,將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起,使A、B重合于點P,則三棱錐P-DCE的外接球的體積為____。

圖2

解：由題意可知折疊后的三棱錐P-DCE是正四面體,它的棱長為1,由此正四面體可構造正方體,如圖3所示。

圖3

評析:通過構造正方體(或長方體),可把分散問題集中在一個特殊的空間幾何體中,使得所求問題更直觀化、簡單化。