直線與平面平行問題的證明方法剖析

■侯 軍

證明線面平行問題是高考立體幾何大題的高頻考點(diǎn),采用立體幾何的基本定理和性質(zhì)進(jìn)行邏輯論證是證明此類問題的重要方法。但總有一些同學(xué)不知道怎么思考此類問題,或者是不知道怎么合理地添加輔助線。本文就此提出一些考查立體幾何線面平行問題的常見題型及證明方法,希望同學(xué)們仔細(xì)體會(huì),爭取突破此考點(diǎn)。

方法一：洞悉圖形內(nèi)涵,巧取中點(diǎn),構(gòu)造中位線證明線面平行

方法點(diǎn)撥：利用刻度尺將平面外的直線平移到平面內(nèi),通過直觀觀察,若發(fā)現(xiàn)平面內(nèi)的直線與平面外的直線長度不相等,一般猜想中點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線,利用三角形中位線定理得出線線平行,進(jìn)而得到線面平行。

例1 如圖1所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,E為PD的中點(diǎn),求證:PB∥平面AEC。

圖1

分析：利用刻度尺將PB平移到平面AEC內(nèi),猜想可能的平行直線為EO,不難發(fā)現(xiàn)點(diǎn)O為矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),即中點(diǎn),故可以構(gòu)造三角形的中位線。

證明：如圖1所示,連接BD交AC于點(diǎn)O,連接EO。因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形,所以O(shè)為BD的中點(diǎn)。又因?yàn)镋為PD的中點(diǎn),所以EO為△PBD的中位線,所以EO∥PB。因?yàn)镋O?平面AEC,PB?平面AEC,所以PB∥平面AEC。

解答本題時(shí),我們通過平移猜想找到了另一個(gè)中點(diǎn),可構(gòu)造三角形的中位線,得到平行關(guān)系。但要注意定理闡述的完整性,即“線在面外”(PB?平面AEC)這一條件不能丟。

強(qiáng)化訓(xùn)練1：如圖2所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,D是AC的中點(diǎn)。求證:AB1∥平面BC1D。

圖2

證明：如圖2所示,連接B1C交BC1于點(diǎn)O,連接DO。因?yàn)樵谥比庵鵄BCA1B1C1中,B1BCC1為矩形,所以O(shè)為B1C的中點(diǎn)。又因?yàn)镈為AC的中點(diǎn),所以DO為△AB1C的中位線,所以DO∥AB1。因?yàn)镺D?平面BC1D,AB1?平面BC1D,所以AB1∥平面BC1D。

方法二：大膽平移,合理猜想,構(gòu)造平行四邊形證明線面平行

方法點(diǎn)撥：利用刻度尺將平面外的直線平移到平面內(nèi),通過直觀觀察,若發(fā)現(xiàn)平面內(nèi)的直線與平面外的直線長度相等,一般猜想構(gòu)造平行四邊形,利用平行四邊形對(duì)邊平行得出線線平行,進(jìn)而得到線面平行。

例2 如圖3所示,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,AB=2CD,且M 是AB的中點(diǎn)。求證:C1M∥平面A1ADD1。

圖3

分析：利用刻度尺將C1M平移到平面A1ADD1內(nèi),猜想可能的平行直線為D1A,通過直觀觀察猜想C1M與D1A的長度相等,不妨論證四邊形AMC1D1為平行四邊形,從而得出平行關(guān)系。

證明：如圖3所示,連接AD1。因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形,且AB=2CD,所以AB∥CD。又因?yàn)镸是AB的中點(diǎn),所以CDMA。因?yàn)樵谒睦庵鵄BCDA1B1C1D1中,CDC1D1,所以C1D1MA,所以四邊形AMC1D1為平行四邊形,所以C1M∥D1A。又因?yàn)镈1A?平面A1ADD1,C1M?平面A1ADD1,所以C1M∥平面A1ADD1。

解答本題時(shí),利用刻度尺將C1M平移到平面A1ADD1上,輕松構(gòu)造出平行四邊形。但要注意,我們?cè)谧x圖、審題時(shí),應(yīng)遵循“先找后作”的原則,如已知圖形中有疑似平行的直線,首先要論證,如若沒有再作輔助線。

強(qiáng)化訓(xùn)練2：如圖4所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,E為BC的中點(diǎn),F為PA的中點(diǎn)。求證:BF∥平面PED。

圖4

證明：如圖4所示,取PD的中點(diǎn)H,連接HF,EH,PE。因?yàn)镠為PD的中點(diǎn),F為PA的中點(diǎn),所以又因?yàn)锳BCD為矩形,E為BC的中點(diǎn),所以BE■。所以BEHF,所以四邊形BFHE為平行四邊形,所以BF∥EH。又因?yàn)锽F?平面PDE,EH?平面PDE,所以BF∥平面PED。

方法三：深挖題意,大膽作圖,巧用比例式證明線面平行

方法點(diǎn)撥：我們知道,如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊,這也是得到線線平行的一種有力工具。

例3 如圖5所示,點(diǎn)B為△ACD所在平面外的一點(diǎn),點(diǎn)M,N分別為△ABC,△ABD的重心。求證:MN∥平面ACD。

圖5

分析：由點(diǎn)M,N分別為△ABC,△ABD的重心,想到作出重心所在的線段,同時(shí)得到2,進(jìn)而在△BEF中得到平行關(guān)系。

證明：如圖5所示,連接BM,BN并延長分別交AC,AD于點(diǎn)E,F,連接EF,MN。因?yàn)辄c(diǎn)M,N分別為△ABC,△ABD的重心,所以,所以MN∥EF。又因?yàn)镋F?平面ACD,MN?平面ACD,所以MN∥平面ACD。

本題看似無從下手,其實(shí)解答的關(guān)鍵在于是否理解題目中出現(xiàn)的重心的定義和性質(zhì)(三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn),該點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍),先利用三角形重心定理大膽地作出輔助線,再利用平行線分線段成比例定理證明得出平行關(guān)系。

強(qiáng)化訓(xùn)練3：如圖6所示,四邊形ABCD是平行四邊形,∠ACB=90°,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB=2EF,M為AD的中點(diǎn)。求證:GM∥平面ABFE。

圖6

證明：如圖6所示,因?yàn)镋F∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,所以∠EGF=90°,所以△ABC∽△EFG。連接AF,因?yàn)镕GBC,在平行四邊形ABCD中,M為AD的中點(diǎn),AMBC,所以FGAM。所以四邊形AFGM是平行四邊形,所以AF∥GM。又因?yàn)镚M?平面ABFE,AF?平面ABFE,所以GM∥平面ABFE。

方法四：無計(jì)可施,迂回證明,利用面面平行證明線面平行

方法點(diǎn)撥：當(dāng)我們不能作出輔助線來直接證明線面平行時(shí),不妨迂回一下,先從證明面面平行入手,再利用面面平行的性質(zhì)(若兩平面平行,則其中一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線都與另一個(gè)平面平行),這時(shí)我們就可由證明面面平行推出線面平行。

例4 如圖7所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,E,F分別為邊AD,BC上的點(diǎn),且EF∥AB,AD=2AE=2AB=4CF=4。將四邊形EFCD沿EF折起至圖8的位置,使AD=AE。求證:BC∥平面DAE。

圖8

圖7

分析：通過平移將BC移至平面DAE內(nèi),我們發(fā)現(xiàn)疑似BC∥AD,但這個(gè)猜想很難證明。觀察翻折前后的兩個(gè)圖形,我們發(fā)現(xiàn)在直角梯形ABCD中,AD∥BC,折起至圖8后,CF∥DE,FB∥AE,因此輕松得到平面CBF∥平面DAE,從而得證BC∥平面DAE。

證明：由題意可知,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,折起至圖8后,CF∥DE,FB∥AE。因?yàn)镃F∥DE,CF?平面DAE,DE?平面DAE,所以CF∥平面DAE。同理,FB∥平面DAE。又因?yàn)镃F∩FB=F,CF,FB?平面CBF,所以平面CBF∥平面DAE。又因?yàn)锽C?平面CBF,所以BC∥平面DAE。

解答本題時(shí),我們發(fā)現(xiàn)直接證明難度較大,但論證平面CBF∥平面DAE比較容易,再利用面面平行的性質(zhì),便可得出BC∥平面DAE。所以同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中,應(yīng)仔細(xì)體會(huì)這種迂回論證的技巧。

強(qiáng)化訓(xùn)練4：如圖9所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,E,G,H,K分別為BC,AD,PD,PC的中點(diǎn),F為PA邊上的一點(diǎn),且滿足AF=3PF。求證:BF∥平面EGHK。

圖9

證明：因?yàn)樵诰匦蜛BCD中,E,G分別為BC,AD的中點(diǎn),所以EG∥AB。又因?yàn)樵凇鱌AD中,H,G分別為PD,AD的中點(diǎn),所以HG∥PA。因?yàn)镋G∥AB,EG?平面PAB,AB?平面PAB,所以EG∥平面PAB。同理,HG∥平面PAB。又因?yàn)镠G∩EG=G,HG,EG?平面EGHK,所以平面PAB∥平面EGHK。因?yàn)锽F?平面PAB,所以BF∥平面EGHK。