特殊手段巧轉化，立體幾何妙處理

■韓文美

我們在解決一些立體幾何問題時,往往可以結合具體題目條件,通過特殊手段,結合特殊點、線、面或特殊立體幾何圖形等的應用,利用數形結合來處理,從而使問題得以巧妙轉化,有效解決。下面分別舉例分析,希望對大家的學習能起到拋磚引玉的作用。

一、有關空間線、面關系的判定問題

例1 若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4滿足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,則下列結論一定正確的是( )。

A.l1⊥l4

B.l1∥l4

C.l1與l4既不垂直也不平行

D.l1與l4的位置關系不確定

分析：結合題目條件,直接構造特殊的立體幾何圖形——正方體,通過數形結合來加以直觀判斷。注意對特殊圖形中不同的位置情況要加以全面考慮。

如圖1所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,設BB1是直線l1,BC是直線l2,AB是直線l3,DD1是直線l4,則l1∥l4。設BB1是直線l1,BC是直線l2,CC1是直線l3,CD是直線l4,則l1⊥l4。所以l1與l4的位置關系不確定,故選D。

圖1

二、有關數值的處理問題

例2 如圖2,在三棱錐S-ABC中,E,F,G,H分別為SA,AC,BC,SB的中點,則截面EFGH將該三棱錐分成的兩部分的體積之比VABGHEF∶VSCGHEF為( )。

圖2

A.1∶2 B.2∶1

C.1∶1 D.1∶3

分析：結合題目條件,直接構造特殊的立體幾何圖形,利用正四面體的特殊情況來解決兩部分的體積比問題,這樣就省去了復雜的空間幾何體的體積計算,提高了解題效益。

由于圖形不確定,而答案固定,故假設該三棱錐為正四面體,則所截得的兩部分形狀一樣,體積相等,即VABGHEF∶VSCGHEF=1∶1。故選C。

三、有關幾何體體積的求解問題

例3 已知正四面體P-ABC中,D,E,F分別在棱PA,PB,PC上,若PE≠PF,且DE=DF=7,EF=2,則四面體P-DEF的體積為____。

分析：對于立體幾何中的動三棱錐的體積問題,直接求解難度非常大,且無法切入。而通過特殊化處理,使得點D與點A重合,設出相應線段的長度,利用余弦定理,在不同三角形中建立對應的方程,聯立方程求出x+y與xy的值,并求出△PEF的面積與正四面體P-ABC的高h。通過等積法的轉化來求解,化動為靜,減少變量關系,降低思維難度,有效地將空間問題轉化為平面問題,結合平面圖形中對應的邊角關系來處理,思維方式特殊,解題效果明顯。

如圖3,特殊化處理,使得點D與點A重合,不妨設PF=BE=x,PE=FC=y,則正四面體P-ABC的棱長為x+y。

在△PEF中,由余弦定理可得4=x2+y2-2xycos60°,即x2+y2-xy=4。在△PAF中,由余弦定理可得7=x2+(x+y)2-2x(x+y)cos60°,即x2+y2+xy=7。

圖3

四、有關空間中異面直線所成的角

例4 如圖1,平面α過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成的角為( )。

A.60° B.30°

C.45° D.90°

圖4

分析：用平移法求異面直線所成的角的三個步驟:(1)一作:根據定義作出異面直線所成的角。(2)二證:證明作出的角就是異面直線所成的角。(3)三求:解三角形,求出作出的角。

設平面CB1D1∩平面ABCD=m",平面CB1D1∩平面ABB1A1=n"。

因為α∥平面CB1D1,所以m∥m",n∥n",則m,n所成的角等于m",n"所成的角。

延長AD,過D1作D1E∥B1C,交AD的延長線與點E。

連接CE,則CE為m"。同理可知,B1F1為n"。

由于BD∥CE,B1F1∥A1B,所以m",n"所成的角即為A1B,BD所成的角。容易得到m",n"所成的角為60°。應選A。

五、有關空間二面角的分析問題

例5 如圖5,已知△ABC,D是AB的中點,沿直線CD將△ACD折成△A"CD,所成二面角A"-CD-B的平面角為α,則( )。

A.∠A"DB≤α

B.∠A"DB≥α

C.∠A"CB≤α

D.∠A"CB≥α

圖5

分析：直接通過題目條件判斷所給兩角之間的大小關系,難度比較大,而通過極限法(極限法是根據題干及選項的特征,考慮極端情形的方法,有助于縮小選擇面,使計算簡便,迅速找到答案),結合翻折角的變化帶動點的變化來分析,可以很快確定答案。

結合對應的圖形,采用特殊的極限思維:從點A開始,當△ACD沿直線CD翻折→180°時,α→0°,排除 A、C項;從點A開始,當△ACD沿直線CD翻折→0°時,α→180°,排除D項。故選B。