通過函數變換探究函數零點的存在性

（山東省濱州市實驗中學數學組 山東濱州 256600）

近兩年，在全國高考試題和各地模擬試題中，有關函數零點的存在性問題是一個熱門考點，理所當然的也就成為我們教學一線的熱點問題。這類問題一般可以歸結為已知函數f(x)在區間(a,b)上是單調函數，來探究函數在區間(a,b)內零點的存在性。在具體求解過程中，證明?x0∈(a,b)，使得f(x0)＞0（或f(x0)＜0）成為一個探究性的問題，也是難點所在。究其原因主要有兩個：一是函數f(x)一般由幾個基本初等函數的和差積商或者復合而成，且構成f(x)的各個部分難以直接通過因式分解等手段聯系起來，從而達到判斷符號的目的；二是函數f(x)中含有參數，因為參數的變化導致探究x0的難度。下面以幾個例子，闡述通過對構成f(x)的部分函數的變換，使構成f(x)的各個部分能有機結合起來，進而確定x0的方法和道理。

例1（2017·全國卷Ⅰ理·T21）

已知函數f(x)=a e2x+(a?2)ex?x。

（1）討論f(x)的單調性；

（2）若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍。

本例（1）的結論是：當a≤0時，f(x)在(?∞,+∞)單調遞減。

當a＞0時，f(x)在(? ∞,?lna)單調遞減，在(? l na,+ ∞)單調遞增。

（2）（ⅰ）若a≤0，由（1）知，f(x)至多有一個零點。

（ⅱ）若a＞0，由（1）知，當x=? l na時，

①當a=1時，由于f(? l na) = 0，故f(x)只有一個零點；

即f(? l na) ＞ 0，故f(x)沒有零點；

因為? l na＞0，又通過觀察f(x)的解析式的特征知，

x→ ? ∞時，a e2x,(a?2)ex→0,?x→+ ∞，

所以必存在x0(? ∞ ,? l na)，使得f(x0)＞0。

又f( ?2) =ae?4+ (a? 2 )e?2+2 ＞ ?2 e?2+2 ＞ 0，

故f(x)在(? ∞,?lna)有一個零點。

這里是如何探究出f(?2)＞0的呢？

f(x)=a e2x+a ex?2ex?x＞ ?2ex?x=?2(ex+x)，

當x→+ ∞時，顯然e2x在函數的變化過程中是主體地位，故可以考慮將?x縮小，

容易知道?x＞?ex，

所以f(x)=a e2x+(a?2)ex?x＞a e2x+(a?2)ex?ex

=ex[aex? ( 3?a) ]。

上面原函數的變形過程基于對構成原函數的基本初等函數及其變化規律的觀察與分析。

則f(n0) = en0(aen0+a? 2) ?n0＞ en0?n0＞ 2n0?n0＞0。

綜上，a的取值范圍為(0,1)。

例2（2016·全國卷Ⅰ文·T21）

已知函數f(x)=(x?2)ex+a(x?1)2。

（1）討論f(x)的單調性；

（2）若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍。

簡析：因為f′(x)=(x?1)(ex+2a)，所以當a≥0時，f(x)在(? ∞ ,1 )上單調遞減，在(1,+ ∞)上單調遞增。

當a=0時，f(x)顯然只有一個零點2；

當a＞0時，f(x)有極小值f(1 ) =?e＜0。

又觀察f(x)易知f(2)=a＞0，

所以(1,2)內必存在唯一零點。

當x→ ? ∞時，(x? 2 )ex→0，a(x? 1 )2→+ ∞。

如何探究？

探究一：

f(x)＞x?2+a(x?1)2＞2x?2+a(x?1)2=(x?1) [a x?(a?2)]。

探究二：

所以f(x)＞(x?2)ex?a(x?2)=(x?2)(ex?a)。

所以當x＜2且x＜l na時，必有f(x)＞0。

通過上面的例子我們不難發現，函數變換的過程是對f(x)放縮的過程，通過這種變換使得原來構成f(x)的難以溝通的各部分轉化為基本初等函數，從而容易探究出x0，體現了轉化與化歸的思想。而如何完成這種函數變換，則需要實施者對函數f(x)的構成特點，參數的取值范圍以及單調區間有一個細致的觀察與分析，同時還需要掌握利用曲線的切線方程將復雜函數轉化為基本初等函數。