一道2017年高考三角試題的“深度解析”

（山東省濱州市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 山東濱州 256600）

2017年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷理科17題是一道中檔解三角題，考查了考生對(duì)正、余弦定理及面積公式的綜合運(yùn)用以及運(yùn)算能力，屬于常規(guī)的題型。但該題要求考生能對(duì)相關(guān)公式和定理靈活運(yùn)用，能從整體上把握已知條件和要求解目標(biāo)之間的關(guān)系。若考生不能對(duì)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)學(xué)本質(zhì)有著深刻的理解，就會(huì)面對(duì)眾多的定理、公式而難以進(jìn)行正確的選擇和變形運(yùn)用。筆者希望對(duì)題目的條件與結(jié)論作一番探究，對(duì)問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)進(jìn)行揭示，提出新的解法，總結(jié)解題思路和解題規(guī)律。若有不當(dāng)之處，還請(qǐng)同行們批評(píng)指正。首先給出題目：

（Ⅰ）求sinBsinC;

（II）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長(zhǎng).

一、解題思路分析

（1）第（I）問(wèn)的思路分析。

我們要想進(jìn)行有效的恒等變形，先從已知條件和結(jié)論之間的差異入手，條件中是含有邊角的等式，結(jié)論中只有兩角，要想消除之間的差異，就要進(jìn)行邊角的互化。這里因該有兩個(gè)方向，一個(gè)是把條件中的邊化成角，與結(jié)論相統(tǒng)一；另外一個(gè)思路是把角條件和結(jié)論中的角都轉(zhuǎn)化成邊。

（2）第（II）問(wèn)的思路分析。

下面先對(duì)條件和結(jié)論進(jìn)行一下梳理和變形。

條件有：

由①②，運(yùn)用兩角差的余弦公式，可求得A=，

結(jié)論是求三角形周長(zhǎng)，即求a+b+c，又a=3，只需求b+c。

再結(jié)合正弦定理，對(duì)所求目標(biāo)進(jìn)行變形：

思路一：b c= 8，a=3，cos，三個(gè)方程三個(gè)未知數(shù)，即可得到結(jié)論。

思路二：b c= 8，由

a=3，三個(gè)方程三個(gè)未知數(shù)，求b+c。

通過(guò)上述兩個(gè)關(guān)于B,C方程，

以及sin2B+ c os2B=1,sin2C+ c os2C=1,

結(jié)合上述三個(gè)式子，消掉一個(gè)角簡(jiǎn)化運(yùn)算.

思路五：

以及由cos(B?C)=cosBcosC+sinBsinC

二、一題多解

第（I）問(wèn)的解答過(guò)程。

得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC，

第（II）問(wèn)的解答過(guò)程。

從而

代入bc=8，a=3得(b+c)2(b?c)2=33，

即b4+c4?2b2c2=3,代入b c=8

得b4+c4=161，

再變形得(b2+c2)2?2b2c2=161，代入b c=8

得b2+c2=1 7，

三、反思深化

（2）第二問(wèn)中，解法1和解法2的轉(zhuǎn)化方向都是由角向邊進(jìn)行轉(zhuǎn)化，所用的工具主要是兩角和的正弦公式與余弦定理，在轉(zhuǎn)化中需要對(duì)“ab”和“a+b”進(jìn)行整體把握。

（3）我們?cè)谄綍r(shí)解題過(guò)程中要注意根據(jù)題目的已知條件，整體分析已知和所求目標(biāo)之間的的關(guān)系，多一些思考，掌握它們內(nèi)在的一些聯(lián)系，時(shí)刻注意思維的訓(xùn)練，領(lǐng)悟有關(guān)公式變形的數(shù)學(xué)本質(zhì)。只有這樣我們才能接近問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)，有助于優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)。