利用導數運算法則和單調性構造函數解題

（齊齊哈爾中學 黑龍江齊齊哈爾 161000）

近幾年的練習、高考題頻頻的出現，凸顯了此類題目的炙熱程度，實質上就是導數運算法則的形式的逆用、體現了題根源于教材。高中階段常用模型如下：

一、利用函數求導的四則運算構造函數

1.設函數f′(x)是奇函數f(x) (x∈R)的導函數，f(?1)=0，當x＞0時，xf′(x)-f(x)＜0，則使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是（ ）

A.(? ∞ ,? 1 )U ( 0,1) B.(? 1 ,0)U(1,+ ∞)

C.(? ∞,? 1 )U ( ?1,0) D.(0 ,1)U (1 ,+ ∞)

答案：A

2.設f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x＜0時f′(x) ?g(x)+g′(x) ?f(x)＞0，且g(3)=0，則不等式f(x)?g(x)＜0的解集（ ）

A.(? 3,0)∪ ( 3,+ ∞) B.(? 3 ,0)∪(0,3)

C.(? ∞ ,? 3)∪(0,3) D.(? ∞,?3)∪(3,+∞)

答案：C

3.已知f(x)為定義在(? ∞ ,+ ∞ )上的可導函數，f(x)＞f′(x)對于x∈R恒成立，且e為自然對數的底數

A.e2013?f(2014) ＜e2014?f(2013)；

B.e2013?f(2014)=e2014?f(2013)；

C.e2013?f(2014) ＞e2014?f(2013)；

D.e2013?f(2014)與e2014?f(2013)大小不確定；答案：A

4.已知函數f(x)是偶函數，f′(x)是它的導函數，當x＞0時，f(x)+x?f′(x)≤0恒成立，f(?2)=0，則不等式x?f(x)＜0的解集為.

解：設F(x)=x?f(x)?F′ (x)

=x′?f(x)+f′(x)?x

=f(x)+f′(x)?x

由F(x)=x?f(x)∴F( ?x)

=?x?f(?x)

=?xf(x)=?F(x) ∴F(x)為奇函數，其圖像關于原點對稱當x＞0時，f(x)+x?f′(x)≤0∴F(x)在(0,+ ∞)上單調遞減，f(?2)=0∴F(?2)=0=F(2)∴x∈(?2,0)∪(2,+ ∞)

6.設函數f(x)是定義在(? ∞ ,0 )上的可導函數，其導函數為f′(x)，且有2f(x)+x?f′(x) ＞x2。

則不等式(x+2014)2?f(x+2014)?4f(?2)＞0的解集為（ ）

A.(? ∞ ,? 2 012)；B.(?2012,0)；

C.(? ∞ ,? 2 016)；D.(?2016,0)

答案：C

7.已知定義在R上的函數f(x)，滿足3?f(x)＞f′(x)恒成立，且f(1)=e3（e為自然對數的底數）則下列結論正確的是（ ）

A.f(0)=1；B.f(0)＜1；

C.f( 2)＜e6；D.f( 2)＞e6

答案：C

二、利用函數單調性構造函數

1.已知R上的奇函數f(x)滿足f′(x)＞ ?2，

則不等式f(x?1)＜x2?(3?2l nx)+3(1?2x)的解集為.

解：設F(x)=f(x?1)-x2? (3? 2 l nx)-3(1?2x)

則F′(x)=f′(x?1)+4xl nx-4x+6

再設g(x)=4xlnx-4x+6，

則g′(x)=4 l nx(x＞ 0 )， 當g′(x)＞0時 即l nx＞ 0 ?x＞1，∴g(x)在x∈(0,1)遞減，在(1,+ ∞ )遞增。

∴x=1時，g(x)min=g(2)=2∴F′ (x)＞ 0 ∴F(x)在(0,+ ∞ )遞增，而F(1)=f(0)-3( 1 ?0)-3( 1 ?2)=0，∴F(x)＜0的解集為(0,1)，

即f(x?1)＜x2?(3?2l nx)+3(1?2x)的解集為（0,1）。

∴F(x)在R上單調遞增，且F(2)=e?f(2)-1=0，

∴解集為(2,+ ∞)

通過以上實例我們發現利用求導運算法則和利用單調性構造函數有異曲同工之處，我們做出以下總結性的解法足以應對此類題目

（1）解不等式f(x) ＞g(x)，可以直接構造新函數：

F(x)=f(x)-g(x)，之后再對F(x)求導

（2）由x?f′(x)+f(x)＞0(＜0)可以直接構造函數：

F(x)=x?f(x)，之后再對F(x)求導

（3）由αs i nα_βsinβ，可以利用其結構特征、直接構造新函數F(x)=xsinx，之后再對F(x)求導

（4）由x?f′(x)-f(x)，可以直接構造新函數：

（5）由x2?f′(x)-2x?f(x)，可以直接構造新函數：

（6）由f′(x)+f(x)＞0，可以直接構造新函數：

F(x)=ex?f(x)，之后再對F(x)求導

（7）由f′(x)-f(x)＞0，可以直接構造新函數：

我們將上面的幾種結構重新梳理一下，可以發現模型實質為F(x)=f(x)?xk,k=?1,1,2。和F(x)=f(x)?ek x，k=?1,1，的形式。

（8）對于k f(x)+f′ (x) (kR )的情況：可設函數：

F(x)=ek xf(x)，之后再對F(x)求導。