概率論與數理統計課程中的EXCEL實驗設計

張幗奮　吳國楨

摘要：概率論與數理統計是一門有著很強應用背景的課程，為了增強應用能力的培養，在課程中增加EXCEL實驗是非常重要且行之有效的辦法.文章從三個方面介紹概率論與數理統計在線課程及教材中EXCEL實驗的設計思路.

關鍵詞：EXCEL實驗；概率；統計；計算

中圖分類號：O212.1 文獻標志碼：B 文章編號：1674-9324（2018）52-0254-03

公共課概率論與數理統計是一門有著很強應用背景的課程，各高校非文科類的專業一般都會開設這門課.與其他的公共數學課相比，它們相同的方面有：課程都立足于從基本概念出發，介紹相關知識點的來龍去脈、基本概念、基本思想、基本定理定律、計算步驟、如何運用，等等。但概率論與數理統計還有很重要的一個方面，就是課程應用方面能力的培養.這一點在以往的概率論與數理統計教學中一直是比較欠缺的.而要補齊這塊短板，增強這方面的知識，需要將統計計算內容引入到課程中.當然，有很多的統計軟件像SAS，SPSS，MATLAB等等都有很強的統計功能，但是這些軟件的學習一般需要專門的教學與上機操作.而作為公共課的概率論與數理統計課程學時數有限，一般沒有設置專門的實驗課課時，沒有時間講授這些內容.如何解決這個矛盾？眾所周知，EXCEL是使用電腦的人們都非常熟悉的電子表格軟件，而EXCEL中的統計函數與數據分析工具已經能夠解決概率統計課程中幾乎全部的計算問題，并且不需要額外安裝軟件，學習也相對比較容易，基本上通過自學就可以掌握.所以我們在概率論與數理統計課程中采用EXCEL編制實驗應用.從2015年起在中國大學MOOC平臺上開設概率論與數理統計課程[1]（該課程被評為2017年國家精品在線開放課程），以及在概率論與數理統計教材[2]中，我們制作27個EXCEL實驗（參考《概率統計實驗》[3]）詳細介紹了在概率論與數理統計中如何實現EXCEL應用，內容從最開始的拋硬幣、擲骰子模擬實驗到最后的方差分析，回歸分析實驗.下面我們來介紹一下在概率論與數理統計課程中制作EXCEL實驗的設計思路.

一、應用EXCEL完善計算結果

在概率論與數理統計中會涉及很多分布，比如二項分布、泊松分布、正態分布、卡方分布、t分布、F分布，等等，教學過程一般會介紹分布的產生背景、分布律或者概率密度函數的形式、分布的性質、數字特征等等.

例如，設隨機變量X～B（3，0.4）（二項分布），則X的分布律為P（X=0）=0.216，P（X=1）=0.432，P（X=2）=

0.288，P（X=3）=0.064.但如果有隨機變量Y～B（30，0.4），則Y的分布律往往會表示為P（Y=k）=C■■0.4■■0.6■■，k=0，1，...，30.中間用省略號代替，如果我們要計算P（Y=10），或者P（10

此外，一般在概率論與數理統計教材后面都會附上標準正態分布函數表、卡方分布表、t分布表、F分布表等.對于標準正態分布函數表，它能夠查0～3.9之間的帶兩位小數的分布函數值，如果要查Φ（1.567），則只能采用在Φ（1.56）=0.9406與Φ（1.57）=0.9418之間進行插值0.9414或者近似查Φ（1.57）為0.9418.而如果要反查，找分位數就更麻煩了.只是在數理統計教學中一般只用到標準正態分布的上0.05和上0.025分位數，對應的值為1.645和1.96，所以看上去避免了尷尬.事實上只要在EXCEL單元格中輸入“=NORM.S.DIST（1.567）”就可以得到Φ（1.567）=0.941443，輸入“=NORM.S.INV（0.95）”就可以得到標準正態分布的上0.05分位數是1.644854，是不是很方便？又比如，設X～t（10），求P（X>0.5）.一般教材上限于篇幅，只能查到該概率大于0.2，但通過在EXCEL單元格中輸入“=T.DIST.RT（0.5，10）”就得到0.313947.基于這樣的目的，我們制作了“實驗4 二項分布泊松分布概率計算（視頻）”，“實驗6 正態分布分布函數值與標準正態分布上分位數（視頻）”和“實驗12 三分布分位數，分布概率值（視頻）”手把手教學生如何借助EXCEL計算概率值、分布函數值、分位數值等.

二、隨機模擬與定理定律的可視化

在概率論與數理統計教材中一般都會提到拋硬幣試驗，還會提到歷史上著名統計學家他們做的拋硬幣試驗的數據.不過如果現在老師布置一個作業讓大家回去拋1萬次硬幣，統計正面出現的次數，計算正面出現的頻率，估計基本上不會有人去做的.那么為了得到頻率數據，我們還有什么辦法呢？沒錯！隨機模擬.在EXCEL中可以模擬拋硬幣、擲骰子、貝努里試驗、均勻分布試驗等等，我們制作“實驗1 拋硬幣試驗（視頻）”和“實驗2 投骰子（視頻）”就是教學生如何模擬拋硬幣、擲骰子.此外制作的“實驗3 拋硬幣擲骰子頻率趨勢實驗”，既使“頻率具有穩定性，其穩定值稱為事件概率”這一結論有了直觀演示，同時也是貝努里大數定律的可視化.

為了幫助學生更好地理解概率論與數理統計中的某些定理定律和概念，我們制作了若干實驗.例如對于泊松定理：當n很大，p很小時，X～B（n，p）（二項分布），記λ=np，Y～P（λ）（泊松分布），則P（X=k）≈P（Y=k）.我們制作了“實驗5 二項分布與泊松分布近似效果實驗”，見圖1（a）（b）（c），這三張圖的參數都滿足λ=np，圖（a）的n不大，p不小，圖（b）的n很大，但p不小，圖（c）的n很大，p很小，通過直觀對比，使學生更容易理解并記住泊松定理的條件，從而更好地掌握并運用定理.

又例如，大數定律與中心極限定理這一章內容不多，所以教學課時數也少，但內容又比較難懂，往往學生還沒有明白老師在講什么的時候，內容已經講完了.所以我們在這一章增加了兩個實驗“實驗9 大數定律模擬”和“實驗10 中心極限定理模擬”（見圖2），加上前面的實驗3.在這些實驗中通過設置滾動條，學生可以自己操作，隨著滾動條的移動，參數不斷發生變化，隨之相應的圖形也發生改變，近似的效果一目了然.所以這些實驗是學習與掌握大數定律和中心極限定理思想的非常有用的輔助工具.

三、建立統計問題的EXCEL模板

數理統計是處理數據分析數據的一門學科，所以根據樣本數據計算均值、標準差等是最基本的統計計算問題.在此基礎上，運用數據進行區間估計、假設檢驗、擬合優度檢驗、方差分析、回歸分析，是數理統計的核心內容.在數理統計的教學中，著重點是講清楚統計思想、統計方法、實施步驟，至于具體的計算，一般教學雙方都不重視，甚至認為很麻煩，其實這樣的想法是非常不可取的.因為統計問題本身就是通過對數據的分析去解釋客觀存在的現象，如果已經理解了數據的性質，知道了采用的方法，但是沒有有效的計算工具，不能快速地得到計算結果，照樣不能很好地解決實際問題.為此，我們制作了15個實驗，通過具體的例子，講解單正態總體均值方差的區間估計和假設檢驗，雙正態總體均值差方差比的區間估計和假設檢驗，擬合優度檢驗，單因素試驗方差分析，一元線性回歸的EXCEL實現，例如圖3是實驗14 單正態總體均值的置信區間計算（視頻），圖4是實驗22 雙正態總體均值差的假設檢驗（視頻），學生通過視頻學習，按照這些EXCEL教學模板進行計算，結果就非常簡潔明了，方便實際應用.

四、結語

正是基于上述三個方面的考慮，我們制作完成了27個EXCEL實驗.在概率論與數理統計MOOC課程和概率論與數理統計教材中可以通過掃描二維碼進行自學，既不占用課時，同時又完善了課程內容.而學生在學習過程中，既掌握了課堂的教學內容，又通過自學，自己操作，了解了EXCEL的強大功能，增加了學習的趣味性，從而更有利于調動學習的主動性、積極性，達到更好的學習效果.

參考文獻：

[1]張幗奮，等.概率論與數理統計MOOC課程[EB/OL].中國大學MOOC愛課程平臺，網址：http：//www.icourse163.org/collegeAdmin/termManage/275003.htm#/tp/sg.

[2]張幗奮，張奕.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，北京，2017.

[3]郭民之.概率統計實驗[M].北京：北京大學出版社，2012.