燈泵Cr，Nd:GSGG晶體熱效應的有限元研究

汪 峰， 田 豐， 武風波

(西安科技大學 通信與信息工程學院，西安 710054)

0 引 言

目前，提高LD抽運全固態激光器的輸出功率是人們著重研究的一個方向，其中，激光晶體的熱效應對其影響巨大[1-3]。雙摻雜的Cr，Nd:GSGG晶體由于Cr3+具有寬吸收帶，能夠有效的吸收光譜中的可見光，并將能量有效的傳給Nd3+，因此Cr離子的摻入大大增加從泵浦源到激光晶體的輻射轉換效率，適合閃光燈作為泵浦源的高效固體激光器的激活介質。1985年,Edward Reed等人研究了閃光燈泵浦下Cr，Nd:GSGG晶體的激光效率是Nd：YAG晶體的3倍，而熱透鏡效應是Nd：YAG晶體的6倍，本文用ANSYS有限元分析軟件分析晶體的熱導率隨溫度變化的非線性變化，得到了閃光燈泵浦的Cr，Nd:GSGG晶體的內部溫度場[4-6]、熱應力場分布、以及改善熱透鏡效應后的溫度場、應力場分布進行有限元模擬，得到詳細而直觀的結果。

1 理論模型的建立

在柱坐標系下，熱傳導的方程為[7-10]：

(1)

對于穩態，軸對稱問題上式可以簡化為一維溫度分布：

(2)

式中：k=kr=kθ=kz表示熱導率；q為產生的熱量；以T(r0)表示棒面溫度，表示r=r0的邊界條件；r0為棒的半徑。則棒內溫度場的分布為：

(3)

式(3)表明溫度場發生對稱拋物線曲線的變化。即周邊溫度降低，中間溫度升高。對晶體表面進行強制冷卻，考慮冷卻水的溫度Tf，晶體吸收熱量后與冷卻水之間發生熱交換，當晶體內部吸收的總熱量Qa等于冷卻液從棒表面帶走的熱量時，就達到穩定[11-13]：

Qa=2πr0Lh[T(r0)-Tf]

(4)

式中:h為晶體表面與冷卻液的傳熱系數;L為晶體長度。從式(4)可以看出,提高h和降低Tf都能有效降低晶體內的溫度。

因為晶體溫度分布的不均衡，棒的內外層材料有了溫差，產生機械應力。依據熱彈性理論，在無其他外力作用時，自由端的各向同性激光棒，熱應力的徑向、軸向、切向分量分為：

(5)

將T(r)表達式代入上式，求解得到：

(6)

式中：S=αE[16k(1-υ)]-1，E為彈性模量；υ為泊松比；α為熱膨脹系數。晶體內部熱應力分布如圖1所示。

圖1 Cr,Nd:GSGG內部晶體應力分布圖

晶體的等效熱透鏡焦距為：

(7)

2 有限元模擬

晶體熱導率是隨著溫度變化的量，因此在模擬時要考慮到材料的非線性變化，本文的模擬就是基于圖2和表1線性擬合得到的擬合方程κ=2.031 12+(1 161.049 81/T)作為變化的熱導率來模擬晶體的溫度場和應力場分布。

圖2 實驗所得Cr,NdGSGG晶體隨溫度變化的熱導率

3 仿真結果及分析

采用有限元ANSYS分析軟件，對參數如表2所示的Cr，Nd:GSGG晶體進行熱應力和溫度場仿真。熱應力分析采用間接法，其中，PLANE55，PLANE42單元軸為對稱結構，網格大小0.01 mm×0.1 mm，晶體尺寸φ6 mm×80 mm，冷卻水溫度20 ℃，晶體內部吸收的總熱量Qa=600 J，晶體兩端空氣對流換熱系數為50 W/(m2·℃-1)，得到其溫度場模擬如圖3所示。

表2 Cr,Nd:GSGG晶體的性質參數[14-16]

從圖3可以看出，棒的兩邊溫度T(ro)=86.4 ℃，棒的中間溫度T(0)=203.7 ℃，溫度以拋物線曲線的形態改變，與理論相符。

當熱導率為常量，在條件不變的情況下，仿真出來的溫度場分布如圖3(b)所示，可以看出，與圖3(a)相比，棒的兩邊溫度沒有變化，棒的中間溫度有16.7 ℃差距，造成圖3所示的兩種中心溫度不同的原因就是熱導率隨著溫度的升高減小從而使得導熱性能下降。

為了降低晶體的熱效應，在其他條件不變得情況下，通過降低冷卻液的溫度(Tf變為15 ℃)和加快冷卻液的流動速度以提高棒表面與水的傳熱系數(h變為8 000 W/m2K-1)，得到棒內溫度場分布情況如圖4所示。

(a) Tf=20 ℃，h=8 000 W·(m2·℃)-1(b) Tf=15 ℃，h=6 000 W·(m2·℃)-1

從圖4所知，通過降低水的溫度，增加水和晶體傳熱系數，不僅晶體中心溫度有明顯的減少，而且兩邊的溫度大幅降低。但是棒內溫度場不均勻的狀況仍然沒有得到改變，棒中心到棒邊緣的溫度差ΔT=117.3 ℃并沒有改變。那么這種溫度不均就會使得棒的端面形狀發生變化，即所謂的端面效應。用ANSYS模擬的熱導率為變量和常量條件下晶體的變形情況如圖5所示。

(a) κ=2.031 12+(1 161.049 81/T)W·(m·K)-1(b) κ=6.0 W·(m·K)-1

溫度不均使得棒端面發生變形，棒端面改變為凸面，從圖5上所知，變化熱導下的晶體的形變量是常量熱導率下的形變量的1.1倍。目前情況下，經常采用端面修磨的方法來彌補，由于棒端面發生變形，而對激光模式帶來的損耗影響，這種方法同時彌補了熱透鏡效應。把棒的端面修磨成一個凹面，凹面的半徑為R=(no-1)fT，由于變化熱導率引起的端面形變較大，因此中心向內的修磨量就要稍微大一點才能夠得到理想的效果。修磨后激光棒的形變以及應力場分布如圖6所示。

圖6 Cr,Nd:GSGG晶體應力分布

從圖7中可以看出，晶體修磨過后的端面由于熱效應被填平，對于熱透鏡效應起到了很好的補償作用，但是棒體內的溫度梯度沒有隨之發生變化，其端面應力隨之發生改變，如圖7所示。由于端面的修磨，棒端面的邊緣應力隨之變大，而且越來越集中，其中，隨著凹面的半徑的增加，邊緣應力會慢慢超出棒的破壞閾值，損壞了晶體，所以，棒的端面修磨要有尺度。圖5為沒有修磨前晶體在兩種熱導率條件下內部的應力分布，兩者的應力分布都是中心和邊緣應力較大，靠近端面的區域應力很小，所不同的是應力在這兩個區域大小不一樣，變化熱導率條件下的應力分布更加容易使得晶體端面發生形變甚至破裂。在實際應用中對于熱透鏡效應的改善應采用設計相應諧振腔，或者加負透鏡的方法以抵消熱致雙折射或熱透鏡的影響。

圖7 Cr,Nd:GSGG晶體修磨后的應力分布

4 結 語

本文給出有限元分析的一般步驟，并且用ANSYS有限元分析軟件對閃光燈泵浦下的Cr,Nd:GSGG晶體的溫度場分布，應力場分布進行了有限元分析，結果表明提高冷卻水與晶體的傳熱系數，降低冷卻水的溫度可以有效降低晶體棒內的溫度，而端面的適當修磨對于熱透鏡效應的改善起到一定作用。本模擬是建立在熱導率隨溫度變化的基礎上的，材料非線性分析，較之熱導率為常數的模擬結果更接近于真實值，通過上面的分析，將對Cr,Nd:GSGG晶體有一個詳細的了解，在設計激光器件時有一定參考價值。

——摘自《國家中長期教育改革和發展規劃綱要(2010-2020年)》