一類混沌金融系統的混合同步控制法

杜兵芳 畢孝儒 王曉娟

摘 要：運用行嚴格占優矩陣設計控制器，實現了混沌金融系統的同步控制。理論分析和數值仿真驗證了方法的有效性。

關鍵詞：混沌金融系統；行嚴格占優矩陣；混沌同步

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.22.094

1 預備知識

記表示利率，表示投資需求，表示價格指數，文獻[1]給出了混沌金融系統的微分方程模型：

（1）

式中為儲蓄量，為投資成本，為商品需求彈性。

定義1 設，如果成立：

（2）

則稱為行對角占優矩陣。若（2）的個不等式是嚴格的，則稱為行嚴格對角占優矩陣。

引理1[2] 設是行嚴格對角占優矩陣，則有：

（1）是可逆的；

（2）若，則的所有特征值都具有負實部。

引理2[3] 設連續線性時不變自治系統方程為：

（3）

其中為n維狀態，狀態空間原點即為系統的一個平衡狀態。對于系統（3），是漸進穩定的充分必要條件為，矩陣B的特征值均具有負實部。

2 改進的混合控制同步法

混沌同步是指一個系統的混沌軌道將收斂于另一個混沌系統軌道的同一值，兩個系統始終保持步調一致，并且這種同步是結構穩定的。

設驅動系統為：

（4）

其中，把系統（4）改寫為如下形式[2]：

（5）

令：

，， （6）

設響應系統寫為：

（7）

令：

， （8）

是控制函數，決定系統（4）和系統（7）實現同步。定義同步誤差為：

（9）

則誤差動力系統可寫為：

（10）

為了實現系統（4）和系統（7）實現同步，設計控制器[2]如下：

，其中 （11）

（12）

矩陣是反饋增益常數矩陣，很顯然是一個非線性控制器，是一個線性控制器，所以是一個混合控制器。把（11）和（12）代入到（10）式中，誤差動力系統可以寫為如下形式：

（13）

其中：

（14）

若矩陣能使矩陣的特征值均具有負實部，系統（13）就在原點漸進穩定。結合引理1和引理2，本文選擇增益矩陣使矩陣滿足引理1中的條件，則有：

（15）

取不等式（15）的一組解，，于是有如下定理1。

定理1 設計控制器，其中，，， ，分別是系統（4）和系統（7）的利率，投資需求，價格指數。受控系統（13）在原點漸進穩定，即系統（4）和系統（7）達到同步。仿真見第4部分圖1。

3 仿真

取，，初值為，仿真時間為，參數。

參考文獻：

[1]黃登仕，李后強.非線性經濟學的理論和方法[M].成都：四川大學出版社，1993：220-223.

[2]李尚南.一類金融混沌系統的同步控制研究[D].碩士學位論文，2008（04）：23-37.

[3] Hassan K. Khalil（著），董輝，李作洲等（譯）. 非線性系統第三版[M].電子工業出版社：32-33.

基金項目：四川外國語大學重慶南方翻譯學院科研項目（No. ky2018019）

作者簡介：杜兵芳（1989-），女，湖北利川人，碩士，講師，研究方向：運籌與優化控制及在經濟管理系統中的應用。