經濟函數及其應用舉例

文/趙曉艷，河南質量工程職業學院基礎教學部

所謂經濟學本質上是一門社會科學，他研究的對象比如效應、風險、服務等；我們之所以會有那么多關于經濟學的公式和數學模型。數學模型提供了一種研究方法，是方便你去理解、去研究的工具。數學是工具，至少很多經濟學書籍，論文都會用很多數理模型數學也是一門語言，許多涉及到數量、結構的學科都需要這門語言，包括經濟學。經濟學里面，有一些需要用艱深的數學語言，有一些不需要。既要重視數理，更要重視思想。思想是一個梗概，又像燈塔就好比蓋樓的設計圖一樣。然后具體到墻多厚建多高，就要實際去算了。經濟學里很多基礎的假設本身是屬于統計學概念的大樣本結論，經濟學做為一門學科，應該能夠定性定量的分析經濟，思想可以定性，但是定量需要用數學方法來進行衡量。

1 經濟函數以及應用

1.1 需求函數

我們假定除商品的價格之外的因素都保持不變，只有商品的價格影響需求.這時，該商品的需求量Q可以看成是該商品價格p的函數，稱為需求函數，記作

需求函數的圖像稱為需求曲線.需求函數的反函數在經濟學中也稱為需求函數，有時也稱為價格函數.“商場為什么要打價格戰？”通常需求函數是單調減少的，即商品的需求量隨價格的上漲而減少，隨價格的下降而增加.正因為如此，商場通過降低價格、增加商品的銷售量（需求量）的營銷策略，增加了銷售收入.

1.2 供給函數

我們假定除商品的價格之外的因素都保持不變，只有該商品的價格影響供給量.這時，該商品的供給量Q可以看成是該商品價格p的函數，稱為供給函數，記作Q=f(p),p〉0

例如“為什么有的商家要囤積商品，等待時機再銷售？”通常供給函數是單調增加的.即價格越高，廠商越愿意供給商品;價格太低，廠商不會供給商品.這時商家要囤積商品，等待時機再銷售的主要原因.供給函數的圖像稱為供給曲線，供給曲線與價格p軸的交點若是(p0,0)，則應有p0〉0，在經濟學上應理解為，只有當價格超過p0時，生產者才開始提供產品.市場上使得某種商品的需求量與供給量一致時的商品數量稱為均衡數量，此時商品的價格稱為均衡價格. 假設為超額需求，市場上商品供過于價格下降；供不應求價格上漲.

下面我們給出一個實例，已知某商品的供給函數是Qs=2p－4,需求函數是Qd=50－4p,試求該商品的均衡價格和均衡數量.由2p－4=50－4p。所以均衡價格p=9，均衡數量為2×9－4=14.當該商品的價格低于9時，需求大于供給；當該商品的價格高于9時，供給大于需求.

1.3 成本函數

1.總成本函數：總成本是指生產特定產量的產品所需要的成本總額.它包括兩部分：固定成本和可變成本.固定成本(通常用C1表示)是尚沒生產產品時的支出，在一定限度內是不隨產量變動而變動的費用，如廠房費用、機器折舊費、一般管理費用、管理人員的工資等.可變成本(通常用C2表示)是隨產量變動而變動的費用，如原材料、燃料和動力費用及生產工人的工資等.若以Q表示產量，C表示總成本，則C與Q之間的函數關系稱為總成本函數，記作C(Q)=C1+C1≥0是固定成本，C2是可變成本.)通常情況下，總成本函數具有下述性質：（1）總成本函數是單調增加函數，這是因為當產量增加時，成本總額必然隨之增加;

（2）固定成本非負，即C1=C(0)≥0.這很顯然，在尚沒生產商品時，也需要支出，這與產量無關的支出是固定成本.

2.平均成本函數：平均成本是平均每個單位產品的成本.平均成本記作AC，若已知總成本函數C=C(Q)，則平均成本函數為AC=總成本/產量=C(Q)/Q,Q〉0。例如設某企業生產某種產品的固定成本為10萬元，又每生產一件產品需增加成本0.8萬元，求總成本函數及平均成本函數，固定成本C1=10萬元，可變成本C2=0.8Q.所以總成本函數為C(Q)=C1+C2=10+0.8Q。平均成本函數為AC=C(Q)/Q=10/Q+0.8

1.4 收益函數

收益是指生產者出售商品的收入.總收益是指將一定量產品出售后所得到的全部收入.它通常記作R.總收益R為銷售價格p與銷售數量Q的乘積.若以銷量Q為自變量，總收益R為函數，則R與Q之間的關系稱為總收益函數.在已知需求函數總收益函數記作平均收益是指出售一定量的商品時，單位商品所得到的平均收入，即單位商品的售價.平均收益函數記作AR，其計算公式如下：AR=總收益/銷量

1.5 利潤函數

總利潤函數定義為總收益函數R=R(Q)與總成本函數C=C(Q)之差.若以L表示總利潤，則總利潤函數（簡稱利潤函數）L=L(Q)=R(Q)－C(Q)。顯然，若產量為Q，當R(Q)〉C(Q)時，盈利；當R(Q)〈C(Q)時，虧損;滿足R(Q)=C(Q)的Q是盈虧平衡點.例如某工廠生產某種產品，固定成本為40000元，每生產一單位產品需增加成本100元.已知產品的最大銷售量為400單位，總收益R是年產量Q的函數,則利潤函令L=0，得盈虧平

2 邊際函數及其應用

邊際概念是導數概念的經濟解釋. 由導數定義知道，函數的導數是函數的變化率.它實質上描述了由該函數所表示的那個事物或現象的變化情況.下面介紹幾個最常見的邊際函數.

2.1 邊際成本MC

就是總成本函數C(Q)對產量Q的導數，即MC=C′(Q).

邊際成本MC可近似理解為：當產量為Q時，再增加（或減少）一個單位產量，總成本增加（或減少）的數量.線性總成本函數為C

(Q)=5Q+200,求邊際成本.邊際成本MC=C′(Q)=(5Q+200)′=5。再例如三次總成本函數

2.2 邊際收益

邊際收益MR為收益函數R(Q)的導數，即MR=R′(Q).

邊際收益MR可近似理解為：當銷量為Q單位時，再增加（或減少）單位產品，總利潤增加（或減少）的數量.例如某產品的需求函其中P為價格，Q為銷售量，我們可以非常容易求出銷售量為某單位時的總收益、平均收益與邊際收益.

2.3 邊際利潤

邊際利潤為利潤函數L(Q)的導數L′(Q).邊際利潤L′(Q)可近似理解為：當銷量為Q單位時，再增加（或減少）單位產品，總利潤增加（或減少）的數量.例如某工廠進行了大量的統計分析后，得出總利潤L(Q)（元）與每月銷量Q（噸）的關系為L(Q)=250Q－52Q，試確定每月銷量為20噸、25噸、30噸時的邊際利潤，并作出經濟解釋.邊際利潤函數為L′(Q)=(250Q－52Q)′=250－10Q，則L′(Q)上述結果表明當每月銷量為20噸時，利潤對銷量的變化率為50元∕噸；當每月銷量為25噸時，利潤對銷量的變化率為0元∕噸；當每月銷量為30噸時，利潤對銷量的變化率為-50元∕噸.這也說明，對廠家來說，并非銷量越大，利潤就越高，廠家應作出科學的決策.

2.4 邊際需求

邊際需求為需求函數Q(P)的導數Q′(P).邊際需求Q′(P)是可近似理解為：當價格為P時，價格上漲（或下降）1個單位需求量將減少（或增加）的數量.例如某商品的需求函數求P=4時的邊際需求，并說明經濟意義.邊際需求函數

3 結束語

經濟發展離不開數學工具的支撐，我們經常利用數學中的方法來研究經濟問題。本文首先介紹了幾類常用經濟函數及其簡單應用，然后又研究了邊際函數以及邊際函數在經濟學中的應用，并舉出了典型案例，最后對本文進行了總結。