閉區間套定理在數學教學中的一個有趣應用

摘 要：實數集的不可數性在數學分析、實分析等課程中是一非常基本且重要的結論。傳統的是利用對角線法證明（0，1）開區間中所有實數是不可數的，從而證明全體實數集的不可數性。文章主要應用實數完備性的六個等價命題之一——閉區間套定理，巧妙地證明了實數集的不可數性，該結論將會激發學生對閉區間套定理的學習興趣，并有助于學生對閉區間套定理的理解和掌握。

關鍵詞：閉區間套定理；實數集；不可數

眾所周知且容易證明，有理數集是可數的。自然的一個猜想就是，任何無限集合都是可數的。但是事實并非如此。德國數學家、集合論的創始人康托有一個極有意義的發現，就是全體實數集（有理數和無理數）是不可數的。也就是說，全體實數與整數或有理數相比有一個根本的不同。同樣是無限集，但實數集屬于更高一級類型的無限。為人們所廣泛熟悉的連續統，就是實數集的基數（粗略地說，即實數集元素的個數）。對于這個結論的其中一個應用就是證明了實數集中除了代數數（任何整系數多項式的復根）還存在超越數（不是代數數的實數，如圓周率）；因為代數式是可數的，但是實數集不可數。

康托利用對角線方法最早證明了實數集的不可數性。主要思路如下：首先建立實數集與（0，1）開區間的對等性（即找到兩個集合之間一個一一映射）；其次，利用十進制法表示（0，1）開區間中所有的實數，如果所有這些實數集可數，它們就與正整數集對等，換句話說，它們就可以排列成一無窮序列。最后，也是最巧妙的部分，就是通過對角線方法構造一個（0，1）開區間中一個新的實數，但是我們能說明這個新的實數不屬于這個無窮序列。這個矛盾就證明了實數集無法排列成一無窮序列，也就是說，實數集是不可數的。

雖然康托的證明非常經典，但是這個證明涉及到十進制表示法以及新的實數的構造，對于初學者并不容易掌握這個證明。很自然的問題是，是否存在對角線方法之外的而且更容易為學生理解的證明？文章將嘗試應用閉區間套定理證來明實數集的不可數性。閉區間套定理是數學分析中一個重要定理，也是實數完備性的六個等價命題之一。但同時也是數學分析教學過程中的難點之一。其中一個原因，就是閉區間套定理相關的應用以及練習較少（事實上該定理的應用非常廣泛）。我們所做的嘗試，一面能幫助學生如何構造閉區間套從而學會應用閉區間套定理，另一面這個證明充滿趣味，將會激發學生對閉區間套定理的學習興趣，最終有助于學生對閉區間套定理的理解和掌握。

一、主要結論

首先，讓我們來回顧閉區間套定義及閉區間套定理。

定義2.1（[1]）設閉區間列{[an，bn]}具有如下性質：

（1）[an，bn][an+1，bn+1]，n=1，2，L；

（2）limn→∞（bn-an）=0。

則稱{[an，bn]}為閉區間套。

定理2.2（[1]）若{[an，bn]}是一閉區間套，則在實數系中存在唯一的一點ξ，使得ξ[an，bn]，n=1，2，L即an≤ξ≤bn，n=1，2，L。

以下例子說明閉區間套定理中閉區間不能減弱為開區間，否則結論可能不成立。

例2.3 開區間列{（0，1/n）}是一區間套且滿足limn→∞（1/n-0）=0，但不存在實數系中一點ξ滿足ξ（0，1/n），n=1，2，L。

下面給出可數集和不可數集的定義。

定義2.4（[2]）凡和正整數集對等（兩集合之間存在一一映射）的集合都稱為可數集合。

定義2.5（[2]）不是可數集的無限集合稱為不可數集。

下面我們證明文章的主要結論。

定理2.6 實數集是不可數集。

證：（反證法）假設實數集不是不可數集，則實數集必為可數集。由定義2.4知，實數集與正整數集對等，則實數集可排列成一個無窮序列，因此不失一般性，我們不妨設實數集為A={a1，a2，L anL}。現在我們在[0，1]中構造閉區間套。

第一步，將[0，1]分成三等分，即[0，1/3]，[1/3，2/3]，[2/3，1]。顯然對于a1而言，至多同時屬于上述兩個閉區間，則我們可取得一閉區間不會包含a1，且記該閉區間為I1，長度為1/3。

第二步，將I1同樣分成三等分。（例如若I1=[1/3，2/3]，則三等分之后得到三個閉區間為[1/3，4/9]，[4/9，5/9]，[5/9，2/3]）顯然對于a2而言，至多同時屬于兩個閉區間，則我們可取得一閉區間不會包含a2，記該閉區間為I2，長度為1/9，且滿足I2I1。

延續這個方式下去，我們可得到一列閉區間列{In}滿足以下性質：

（1）InIn+1，n=1，2，L，

（2）In的區間長度為1/2n，n=1，2，L，

（3）an In，n=1，2，L。

由（1）和（2）可知，{In}形成一閉區間套。則有閉區間套定理知，在實數集中存在一點ξA，滿足ξIn≥1In。另一方面，因ξA，故可設ξ=ak，其中k為正整數。由（3）知，ξ=ak Ik，進而ξ In≥1In。矛盾！這個證明了實數集不能排列成一個無窮序列，故實數集是不可數的。證明完畢！

推論2.7 無理數是不可數集。

證：（反證法）假設結論不成立，即無理數集是可數集。眾所周知，有理數集是可數集。因為可數個可數集的并仍舊是可數集[2]，所以實數集作為有理數和無理數的并是可數的，與定理2.6矛盾。證明完畢！

二、結語

閉區間套定理固然是教學難點之一，初學者亦很難構造閉區間套來應用該定理。但是筆者認為，只要在教學過程中，多穿插一些有趣的應用，不僅能培養學生的創造力和分析思維，同時也能激發其強烈的求知欲和學習興趣。

參考文獻

[1] 華東師范大學數學系.數學分析上[M].高等教育出版社，2010：1-344.

[2] 程其襄，張奠宇，魏國強，等.實變函數與泛函分析基礎[M].高等教育出版社，2015：1-347.

作者簡介：宣渭峰（1984.02- ），男，漢族，浙江寧波人，博士，講師，研究方向：一般拓撲。