能量問題的常見分析方法

郁建石

一、臨界狀態分析法

任何事物在變化發展過程中總是要經歷由量變到質變的過程，而其轉折點就是一個臨界.物理問題中分析其臨界狀態，往往是分析問題的切人點和關鍵.

例1如圖1所示，小球從高為H的光滑軌道由靜止滑下，進入半徑為R的豎直光滑圓軌道.求小球沿圓軌道運動的最大高度h.

解析如圖2所示，本題中小球在網軌道運動中涉及兩個臨界位置：一個位置是與同心在同一高度上的B點，如果小球運動的最大高度位置在B點以下，則小球在最高點時速度為零;另一個位置是圓軌道的最高點C，在該點時由合外力提供向心力.

如果小球能到達軌道上的該點，速度必須滿足上述條件.因此本題應該分情況分析：

（1）若小球在圓軌道中運動的最高點在B點以下的P點，因v_P=0，由A到P過程機械能守恒，有：mgH=mgh，不難得到：H =h.所以當H≤R時，上升的最大高度為H.

（2）若小球在網軌道中運動的最高點在C點，

二、巧選參考系

例2質量為M坰小車以速度u0沿光滑水平向左運動.車上有擺長為f的單擺，擺球質量為m.現讓小球由最大位移角θ處擺下，求下列情況下小球擺到最低位置過程中，擺線張力所做的功.（設M》m.）

解析 在小球擺下來的過程中，線上張力大小和方向、擺球的位移都不太容易分析，因此直接計算擺線張力做功比較困難，本題中，由于M》m，所以可以認為在小球擺下來的過程中小車的速度保持不變.如果以小車為參考系，擺線張力始終與運動方向垂直，所以張力不做功，因此在小車參考系中，小球的機械能守恒，有：

三、遞推法

當物體之間發生多次重復性的相互作用時，往往可以用遞推的方法進行分析.這種方法通常是先分析某一次相互作用的情況得出結論，再根據多次作用的重復性和共同點，把結論推廣，從而找到其通式，然后結合數學知識求解.

例3 把n塊質量均為m、厚度均為d的相同磚塊，平放在水平地面上，現將它們一塊一塊疊放起來，如圖5所示.至少要做多少功？

解析 將平放在水平地面上的磚一塊一塊疊放起來，每次克服重力做的功是不一樣的.第一塊磚不需要做功，W1=0.

四、圖象法

物理圖象有時可以把一些抽象復雜的物理過程直觀形象地呈現出來，利用圖象的點（交點、拐點等特殊點）、角（斜率）、面（面積）等方面的分析解決問題.

例4 如圖6所示，有一塊底面積為S、高為c的長方體木塊，浮在平靜的湖面上，已知湖深為h，木塊的密度為ρ，湖水的密度力ρ0.現將木塊用力按到湖底至少要做多少功？（不考慮木塊按入湖底過程中水面高度的變化）

解析 若將木塊緩慢地（或勻速）壓到湖底所要做的功最少.此時可將整個過程分為兩個階段（如圖7所示）：第一階段是開始木塊浮在水面壓到剛好全部浸入水中，這一過程施加的外力是一變力;第二階段是從木塊從剛好全部浸入水中到湖底，這一過程施加的外力是一恒力.

開始時木塊在重力和水的浮力作用下平

第二過程中外力F做的功可以直接計算出來，但是第一過程中外力F是變化的，用初等數學的方法不能直接求其做的功（當然由于外力是與下移的距離成正比的，可以求出此過程中的平均作用力來計算功，有興趣的同學可白行分析）.這時可以作出外力F與向下移動的距離x的關系圖象來分析.

根據上面的分析可以作出F-x圖象如圖8所示.

在F-x圖象中，可以用圖線所包圍的面積來表示力F做的功，也就是圖中梯形的面積.所以整個過程中力F做的功為：

五、等效法

在一些物理問題中，一個物理過程的變化發展，一個狀態的確定，往往是由多種因素共同決定的，在這些過程或狀態中，如果某些因素所起的作用與另一些因素所起的作用效果相同，這時就可以用等效的方法進行分析，從而達到殊途同歸的效果，有時還可將問題簡化.

比如上面的例3中：將平放在水平地面上的磚一塊一塊疊放起來，如果換一個角度來看，將所有的磚塊作為一個整體，相當于重心升高了，所做的功應該就是整體重力勢能的增加值.

這就是將磚全部疊放起來做功的最小值，與上面的解結果相同，但分析過程較為簡便.

如上面的例4中，如果從等效的角度看，用外力將木塊壓到湖底的過程中，一方面木塊的重力勢能減少，另一方面水的重力勢能增加，如果能求出系統重力勢能的變化，就可以計算外力做的功.

現在來分析木塊壓到湖底的過程中湖水重力勢能的變化量.

如圖9所示，將木塊開始位置時分成水面上方和下方兩部分.在木塊壓到湖底的過程中，木塊下面的那部分相當于與湖水底部對應的同體積的水的位置對調，而下面那部分同體積的水的重力與木塊的重力大小相同，在對調過程中，這部分水重心上升的高度與木塊下降的高度相同，所以它們的重力勢能的變化恰好抵消.而木塊在水面上方的那部分向下移到水中過程，可以等效看成木塊這部分將湖底對應的同體積水的空間填充，與此同時湖底中的這部分水則移到水面上，而由于不考慮木塊按人湖底過程中水面高度的變化，可以分析這部分水重力勢能的增加量.

這就是木塊壓到湖底的過程中外力所做功的最小值，得到與上面分析同樣的結果.

六、微元法

在物理問題中，一些物理量的變化往往是連續發生的，這類問題通常要用微積分來解決，而在中學物理競賽中則常用微積分的思想進行微元處理.

例5 如圖10所示，長為f、質量為m的均質桿OA，以角速度ω繞其一端O勻速度轉動時，其動能為多大？