繩、桿連接的物體模型分析

馬繼坤

高中物理力學(xué)問題中經(jīng)常出現(xiàn)牽連運(yùn)動(dòng)，主要體現(xiàn)為“兩個(gè)物體用輕繩（或輕桿）維系著向不同方向運(yùn)動(dòng)且速度不同，但在沿繩或桿方向上的速度分量卻相同”.

這種特殊的運(yùn)動(dòng)形式與一般意義的動(dòng)力學(xué)連接體運(yùn)動(dòng)有很大的區(qū)別，通常不宜采用牛頓運(yùn)動(dòng)定律去求解，大多數(shù)可以通過“運(yùn)動(dòng)效果分解”或“功能關(guān)系分析（標(biāo)量運(yùn)算）”，也可以用“微元法（借助三角函數(shù)）”來處理，能夠準(zhǔn)確地找到兩物體之間的速度牽連關(guān)系（矢量運(yùn)算）往往是求解這類問題的關(guān)鍵.

在這類模型中，求解關(guān)聯(lián)速度的問題，是我們將要探究的重點(diǎn).由于兩個(gè)物體相互關(guān)聯(lián)，一般地我們都要按“運(yùn)動(dòng)效果”分解成：沿著繩子（或桿）的速度分量[改變繩子（或桿）速度的大小]和垂直于繩子（或桿）方向的速度分量[改變繩子（或桿）速度的方向].

例1 如圖1所示，汽車以速度v勻速行駛，當(dāng)汽車到達(dá)圖示位置時(shí)，繩子與水平方向的夾角是θ，此時(shí)物體M的上升速度大小為多少？（結(jié)果用v和θ表示）

解析 解法一：運(yùn)動(dòng)效果分解法

物體M與有段繩子上升的速率相同，而右段繩子上升的速率與左段繩子在沿繩長方向運(yùn)動(dòng)的速率v1是相等的.與車相連的端點(diǎn)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度就是合速度，且與汽車速度v相同.分析左端繩子的運(yùn)動(dòng)可知，它其實(shí)同時(shí)參與了兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，即沿繩長方向運(yùn)動(dòng)和繞滑輪邊緣順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng).

將車速v分解為沿繩方向的速度v1和垂直繩子方向的速度v2，如圖2所示.根據(jù)平行四邊形定則可得v1= vcosθ.

所以，物體M上升速度的大小為

v' =vcos θ.

【點(diǎn)評】①物體的運(yùn)動(dòng)一定是合運(yùn)動(dòng);②物體的運(yùn)動(dòng)才能分解成沿繩子（或桿）——改變繩子速度大小的分量與垂直于繩子（或桿）——改變繩子（或桿）運(yùn)動(dòng)方向的分量;③改變物體運(yùn)動(dòng)方向的分量是圓周運(yùn)動(dòng)向心力的本質(zhì).

解法二：位移微元法

如圖3所示，假設(shè)端點(diǎn)A水平向左勻速移動(dòng)微小位移△s至B，此過程中左段繩子長度增大了△s1（過A向OB作垂線AP，因頂角很小，故0P≈OA），即物體上升了△sl，

【點(diǎn)評】這是一種數(shù)學(xué)的方法.這種方法揭示了“運(yùn)動(dòng)效果分解法”的本質(zhì)，常常借助三角函數(shù)來求解，不失為一種很好的方法.

解法三：功能關(guān)系法

不計(jì)滑輪、繩子質(zhì)量及一切摩擦，由功能關(guān)系可知，在汽車前行牽引物體上升的過程中，汽車對繩子的拉力F所做的功W（對應(yīng)功率設(shè)為P）等于繩子對物體拉力F′所做的功W′（對應(yīng)功率設(shè)為P'）

設(shè)作用時(shí)間（相等）為△t，則

F=F′，W=W′，故W/△t=W′/△t，P=P′

又因?yàn)镻= Fvcosθ，P′=F′v′

解得物體上升速度的大小為v′=vcos θ

[點(diǎn)評]這種方法從功能關(guān)系上揭示了“運(yùn)動(dòng)效果分解法”的本質(zhì)，可以說是一種特別好理解的物理方法.這類問題從解法上常常與功能關(guān)系、動(dòng)能定理聯(lián)系起來，增加了題目的內(nèi)涵.

例2 如圖4所示，小船用繩索通過定滑輪牽引，設(shè)水對小船阻力不變，在小船以速度v勻速靠岸的過程中拉繩的速度v′應(yīng)怎樣變化？

解析 由題中已知條件，小船的實(shí)際運(yùn)動(dòng)是以速度v沿水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)，可將其分解為繞滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)和沿繩方向的直線運(yùn)動(dòng).

如圖5 所示，根據(jù)平行四邊形法則畫出小船運(yùn)動(dòng)的矢量圖.

已知小船的速度為v，是題中所給的直接條件，因此我們可以直接求出拉繩的速度.

可得v′= vcosθ，并且逐漸變小.

例3 如圖6所示，跨過定滑輪的輕繩兩端的物體A和B的質(zhì)量分別為M和m，物體A在水平面上.A由靜止釋放，當(dāng)B沿豎直方向下落h時(shí)，測得A沿水平面運(yùn)動(dòng)的速度為v，這時(shí)細(xì)繩與水平面的夾角為θ，試分析計(jì)算B下降h過程中，地面摩擦力對A做的功？（滑輪的質(zhì)量和摩擦均不計(jì)）

解析 把物體A、B看成一個(gè)整體，對該系統(tǒng)進(jìn)行受力分析.B下降過程中，B的重力做正功mgh，摩擦力對A做負(fù)功，設(shè)為W_f.

由于A與水平面間的正壓力是變化的，又不知?jiǎng)幽Σ烈驍?shù)、W_f不能用功的定義求得，只能通過動(dòng)能定理來求解W_f.

A的實(shí)際運(yùn)動(dòng)沿速度v的方向，它可以分解為分別是沿繩方向和繞滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)分運(yùn)動(dòng);畫出如圖7的矢量圖;

由圖可知，v1為繩的速度，也就是該時(shí)刻物體B的瞬時(shí)速度，v1= vcos θ.

對系統(tǒng)列動(dòng)能定理表達(dá)式：

【點(diǎn)評】此題關(guān)鍵點(diǎn)是利用運(yùn)動(dòng)合成與分解的知識求出速度，才能列出動(dòng)能定理表達(dá)式.由此可見，學(xué)好運(yùn)動(dòng)的合成與分解是至關(guān)重要的.

例4 如圖8，重物M沿豎直桿下滑，并通過繩帶動(dòng)小車m沿斜面升高.則：當(dāng)滑輪右側(cè)的繩與豎直方向成θ角，且重物下滑的速率為v時(shí)，小車的速度v′為多少？

解析 物體朋的速度就是合運(yùn)動(dòng)的速度.它可以分解成沿著繩子的速度v′（即小車的速度）和改變繩子方向的速度v″.

由幾何關(guān)系得小車的速度v′= vcosθ