課間學生更換教室耗時分析及教室排課方案優化設計

諸葛雪玉

(河海大學土木與交通學院，江蘇 南京 210098)

1 概述

目前，國內外關于排課問題主要從兩個角度著手研究：教學管理工作者從方便教學管理的角度出發，大多依據經驗確定教室排課方案[1]；計算機專業從優化求解算法[2]、提高運算效率角度出發來確定排課方案，研究成果豐富。但是大家都忽略了交通對排課系統的影響，缺乏針對排課方案中學生通行時間、通行效率等指標的量化分析與評價。

據此，借助交通工程學、運籌學等相關理論，分析并量化課間學生更換教室途中各階段時間消耗，以人均時耗最短為優化目標，優化教務管理系統中的排課方案，對提高課間利用率和減緩課間擁堵有一定的意義。

2 課間學生更換教室行程時間建模

通過分析學生課間更換教室過程中排隊進出教室、路徑通行、排隊打水、排隊如廁等階段，研究各階段消耗時間的影響因素。其中排隊進出教室考慮學生早到因素的影響；路徑通行分別考慮路徑選擇與路徑擁堵兩個因素；課間排隊打水與如廁階段分別考慮學生打水、如廁的使用時間、排隊時間以及到達分布等因素的影響。

2.1 進出教室的時間消耗

在考慮學生早到因素影響下，構建學生排隊進出教室消耗時間模型，則有：

(1)

其中，tE為一個教室學生排隊進出教室消耗的總時間；VE為學生排隊進出教室速率；t′為一個教室因學生早到造成的擁堵延誤時間；n′為等待班級的上課人數。

2.2 路徑通行的時間消耗

在路徑通行階段下，通過分析路徑選擇與路徑擁堵[3]等影響因素，構建考慮多需求的路徑通行時間計算模型。在無擁堵條件下，借助最短路原則[3]確定更換教室路徑選擇。構建無擁堵條件下的路徑通行時間計算模型，其計算公式為：

(2)

其中，tL為一個教室學生課間更換教室通行路徑消耗總時間；DE為更換教室時直接到達終點教室的路徑長；VB為直達終點教室路段的通行速率；n為上課教室總人數。

在擁堵條件下利用圖解法，計算路徑中瓶頸點處擁堵增加的通行時間，則有：

(3)

其中，tt為擁堵點所增加的時間；k為擁堵點上游人流率；u為擁堵點能夠通過的最大人流率。

學生更換教室途中，排隊進出教室消耗的時間和路徑通行消耗的時間t1為：

t1=∑tE+∑tL+∑tt

(4)

2.3 打水過程的時間消耗

打水過程時間消耗包括排隊打水時間消耗及因打水需求而產生的額外的路徑時間消耗。排隊打水消耗時間借助排隊論[4,5]方法進行研究，打水過程中學生到達服從泊松分布，打水時間服從負指數分布，打水過程類似排隊論的多路多通道服務，即N個M/M/1系統。構建打水過程的時間消耗模型，計算公式為：

(5)

2.4 如廁過程的時間消耗

如廁過程時間消耗包括排隊如廁時間消耗及因如廁產生的路徑時間消耗。如廁排隊消耗時間借助排隊論方法研究，如廁過程中學生到達服從泊松分布，如廁的時間服從負指數分布，如廁過程類似排隊論的單路多通道服務，即M/M/N系統。構建如廁過程的時間消耗模型，計算公式為：

(6)

則學生課間更換教室的途中，因打水和如廁消耗的總時間t2為：

(7)

其中，Δt為課間時長；m為課間排隊打水學生所占的比例；p為課間排隊如廁學生所占比例。

2.5 總計行程時間

(8)

3 排課系統優化設計

3.1 優化目標及約束條件

在考慮各階段耗時因素的影響下，以課間學生更換教室人均耗時最短為優化目標。總結現狀排課規律加以優化對整個學期的課程重新進行安排，在此基礎上對教室安排方案進行約束。約束條件包括教室上課人數不大于教室容量，具有特殊需求班級在對應的特色功能教室上課，將有學生早到行為的班級安排在行人流上游，以及將連續授課教師授課教室固定。構建數學模型如下：

(9)

其中，C為教室容量；c′為有特殊需求班級集合，或第一節課沒課班級集合；R′為特殊功能教室集合，或行人流上游教室集合；T為連續授課教師集合；R為教室集合;R1為第一節課的上課教室;R2為第二節課的上課教室;式中映射均為一一映射。

3.2 優化算法

根據教學培養方案確定每個班級每個學期每門課程的上課時長，借助現有排課規律加以優化，構建班級與課程之間的聯系，形成初始排課方案。

根據教室間距離、教室容量和班級人數、課程等數據，利用貪心算法[6]求得初始排課方案(確定初始解)，根據可行解搜索求得新的解，若新的排課方案學生課間更換教室人均消耗時間更短，則將新的解置為當前最優解。重復迭代過程，當搜索次數或迭代次數大于規定閾值時，停止迭代并輸出當前解作為最優排課方案。利用優化算法求解時遵從相關優化原則：在保證安全的前提下盡量降低學生課間更換教室頻率，盡量減少在擁堵點附近教室安排學生上課，盡量使學生在更換教室路徑中途經過廁所與打水處。

4 實例驗證

4.1 現狀分析

以河海大學江寧校區為例，研究其2017年—2018年學期在江寧校區致用、致高A、致高B、博學四棟教學樓，以16級，17級本科生5 152人作為研究對象的課間耗時情況，其中包括上課教室146個、廁所43個、飲水機31個。在此基礎上將江寧校區教室及教學服務設施抽象為立體空間網絡：其中教室、飲水機、廁所抽象為網絡節點，通行路徑抽象為網絡節點間的聯通路徑，據此計算學生更換教室路徑通行的距離。

4.2 模型驗證

選擇五個教室內的班級為實測研究對象。記錄第六周周二上午課間各個教室學生進出教室時間，兩個時間之差即為各學生在更換教室途中消耗時間。將現場實測的人均耗時與根據模型計算所得人均耗時進行對比，可知實測結果與模型計算結果差異比例近似，且變化趨勢基本一致，這表明構建的課間學生更換教室行程耗時模型可信度較高，具體如圖1所示。

4.3 優化分析

以第六周周二上午為例，根據現狀分析確定各個參數的數值，計算各階段的時間消耗，按照前述優化目標、優化原則進行優化，確定優化后教室排課方案，并對比分析現狀與優化排課方案的學生更換教室通行時間消耗(如表1所示)。

表1 河海大學江寧校區教室排課方案優化前后學生課間通行時耗分析

計算可得，排課方案優化前后學生課間更換教室人均耗時分別為9.8 min和6.7 min，通行時耗降低31.6%，原教室數為114個，優化教室數為72個，且優化方案在更換教室過程各階段均降低通行時間。

5 結語

從交通角度優化排課系統，可以有效提高課間時間的利用效率，為優化課間休息時長提供科學依據。同時，通過量化學生打水、如廁過程的時間消耗，可進一步優化飲水機等教學服務設施的布設位置與數量。