基于改進Adomian分解法的分數階Rabinovich超混沌系統實驗仿真

雷騰飛, 張 鑫, 臧紅巖, 夏祥祥

(1. 齊魯理工學院 電氣信息工程學院, 山東 濟南 250200； 2. 吉林大學 數學學院, 吉林 長春 130012)

分數階微積分出現已有300多年的歷史。因為分數階沒有實用背景且在工程中也無應用,從而使得分數階的思想一直很少被研究者以及科學工作者提及。近年來,混沌動力學相關理論廣泛應用于各個領域[1-2],隨著分數階系統理論的發展,以經典的混沌系統為研究對象,重新引入分數階微積分算子,提出了許多分數混沌系統,如分數階Chen系統[3-4]、分數階Lü系統[5]、分數階Lorenz系統[6]等。

目前,研究人員已在分數階混沌系統分析與控制領域取得一些成果,但分數階混沌系統動力學分析的相關研究工作開始較晚,相關文獻也較少。關于分數階的定義較多,因此分數階微積分數值方法也存在不同[7]。文獻[8-10]將分數階模型通過拉氏變換到頻域中,利用高階系統模擬分數階系統,分別對分數階Lorenz、分數階超Qi、分數階超Lorenz混沌系統做了基本動力學分析,同時采用模擬電路實現了相應的混沌系統。文獻[11]采用預估矯正法對分數階混沌進行了同步控制研究。文獻[7]和文獻[12]采用Adomian分解法對分數階簡化Lorenz系統以及分數Chen系統進行了混沌特性的分析與研究,該方法不能闡述記憶特性,而改進后的Adomian分解法解決了此問題[13]。

本文采用改進的Adomian分解法對Rabinovich超混沌系統進行了分解與數值仿真,根據數值仿真結果分析了分數階(0.9階)Rabinovich超混沌系統的基本動力學行為,也為進一步在混沌密碼、機電耦合系統控制以及圖像、文字視頻加密領域的應用以及實驗提供了參考[14-15]。該仿真能使學生深刻地認識分數階混沌動力學系統,準確分析系統豐富的動力學行為。

1 分數階Rabinovich超混沌系統

文獻[16]根據三維Rabinovich混沌系統提出了Rabinovich超混沌系統,本文在此基礎上提出了分數階Rabinovich超混沌系統的動力學方程為

(1)

給定初始狀態:

根據改進Adomian分解法[13]和分數階微積分性質得到

(2)

將相對應的變量賦系數值,令

(3)

則可知只求出每一項對應的系數即可。根據改進Adomian分解法[13]和分數階微積分性質,得到:

(4)

(5)

(6)

(7)

從而,得出系統的方程解

(8)

式中，x,y,z為系統變量,a,b,c為系統參數。當a=4,b=1,c=6.75,d=1,k=2,q=0.9,根據式(8)可得出系統的解析解,運用Matlab對其進行數值仿真,得出系統(1)的相圖即存在混沌吸引子(見圖1),并得出系統Lyapunov指數:LE1=0.46、LE2=0.10、LE3=0.0、LE4=10.4。兩個Lyapunov指數大于0,可知系統(1)為超混沌系統。

2 分數階混沌系統的仿真與分析

從系統階數q以及內部參數c對分數階超混沌系統的分岔圖與復雜度[13]的影響方面對系統進行了分析。首先固定內部參數,改變q。從圖2(a)的系統分岔圖可看出,q∈[0.55,1]系統在此區間處于混沌態；從復雜度SE與復雜度C0可以看出,隨著階數q增大,系統的復雜度在逐漸減小,如圖2(b)所示。

q=0.9,c∈[1,8],改變參數c時系統的分岔圖和復雜度如圖3所示,從圖3(a)中觀察出c∈[4,8]時系統(1)屬于混沌狀態,此區間中系統(1)的復雜度C0相對值較大(約為0.18),a∈[1,4),系統(1)屬于周期狀態,此區間點比較稀疏,此時系統(1)的復雜度C0相對值比較小(0.02左右)。通過分析可知,分岔圖與復雜度相一致。為了進一步深入驗證分岔圖與復雜度的正確性,采用相圖法繼續對具體參數下的相圖進行數值仿真,結果如圖4所示。可看到圖4(a)為匯點,圖4(b)為單周期態。

圖1 系統吸引子

圖2 q變化時系統(1)的分岔圖復雜度

圖3 c變化時系統(1)的分岔圖復雜度

圖4 系統(1)在參數c取不同值時的相軌跡圖

3 分數階系統的分岔空間

以復雜度C0作為分岔空間的標量,繪制了系統雙參數變化下的復雜度C0,如圖5所示。從圖5可以看出,系統分岔空間與單參數變化對系統的影響具有一致性,即圖5與圖2、圖3具有一致性。從圖5可以看出,參數q與c同時變化,系統出現的混沌態區間較小,顏色越深表示復雜度越高,同時還可以看出c值無論如何變化,系統(1)隨著階數q增大,復雜度降低。

圖5 參數c與q同時變化下的復雜度

4 結語

應用分數階微積分基本理論,基于改進的Adomian分解法,研究了一類分數階超混沌系統。從改進Adomian分解法出發,分析研究系統吸引子；又根據此算法采用分岔圖、復雜度C0分岔空間等數值仿真分析了Rabinovich超混沌系統基本動力學行為。仿真結果為Rabinovich超混沌系統的控制及其在混沌密碼、數字電路等領域的應用提供了思路。