航天器微振動主動控制研究

李 耀 吳洪濤 楊小龍 康升征 程世利

(1.南京航空航天大學機電學院， 南京 210016； 2.鹽城工學院汽車工程學院， 鹽城 224051)

0 引言

隨著航天技術的不斷發展，我國航天領域面臨更多的機遇和挑戰。我國北斗系列導航衛星的發射為全球用戶提供了高精度定位和導航，同時也對航天器敏感載荷的指向精度、分辨率以及穩定性等性能指標提出了更高的要求。新型空間望遠鏡允許的指向精度為0.01 μrad[1]；空間邁克爾遜干涉儀的位置控制精度達到10 nm[2-3]；通訊衛星之間的指向精度也需要達到微弧度級。航天器上的柔性部件伸展、液體晃動、反作用飛輪作用以及控制力矩陀螺作用等都會使航天器敏感載荷處于微振動的環境，嚴重影響設備的性能。

為了給敏感載荷或高精密儀器創造超靜環境，國內外學者開展了大量的研究。其中被動隔振技術最先發展起來，并取得了一定的隔振效果[4-7]。但是傳統的被動隔振技術對振源具有一定的要求，即對低頻以及系統固有頻率處的擾動隔振效果較差[8]。隨著敏感載荷要求的不斷提升，純被動隔振已經無法完全滿足振動抑制的需求，主動隔振技術進入了大家的視野[9]。在主動隔振中，音圈電機[10-12]、壓電陶瓷作動器[13-14]以及磁致伸縮[15-16]是目前隔振器中較為常見的驅動器。大量學者基于作動器開展了主動控制研究[17-19]。

雖然國內外學者對主動隔振器進行了大量研究，但是目前已有的主動隔振器仍存在著隔振帶寬窄、隔振性能差、魯棒性不好等問題。噴氣推進實驗室(JPL)設計的音圈電機主動隔振平臺是最早的六自由度隔振平臺[20]，其采用經典控制進行反饋補償，僅在7～100 Hz內具有一定的隔振效果。HANIEH[21]采用音圈電機和壓電陶瓷作動器分別研發了主動隔振平臺，其采用積分力反饋，僅在一段帶寬或者單一頻率處具有一定的隔振效果。本文根據航天器隔振要求從理論上對主動隔振器的干擾位移傳遞和擾動力傳遞進行建模分析，并從理論上對PI控制和LADRC控制進行對比分析，且考慮工程實際情況中濾波器對隔振系統穩定性的影響，最后通過實驗驗證理論推導的正確性和隔振器在20～500 Hz帶寬內的隔振性能。

1 單軸隔振器建模與分析

如圖1所示，根據航天器微振動隔離的要求，需要在不同位置配置隔振平臺[22]。左側紅色隔振平臺配置在控制力矩陀螺或反作用飛輪與航天器本體之間，用于抑制驅動機構的靜不平衡和動不平衡在航天器本體位姿調整時產生的高頻干擾力，確保航天器能夠達到設定位姿。而右側黑色隔振平臺則配置在航天器本體與敏感有效載荷之間，用于抑制航天器上柔性部件伸展或液體晃動引起的低幅值寬頻帶微振動，確保航天器搭載的偵查相機、空間望遠鏡、空間干涉儀等具有超靜的指向環境。

圖1 含隔振器的航天器結構示意圖Fig.1 Schematic of spacecraft with vibration isolator

由于隔振目的不同，隔振性能評價的標準也會相應地改變。一個是以隔離高頻干擾力為目的，則評價隔振性能的標準是力傳遞性能。另一個是以抑制敏感載荷端的位移為目的，則評價隔振性能的標準是位移傳遞性能。

將單自由度被動隔振系統簡化為圖2所示模型，其動力學方程可以表示為

(1)

式中m——擾動端質量

M——敏感載荷端質量

k——系統剛度c——系統阻尼系數

xd——擾動端位移

xp——敏感載荷端位移

fd——系統外部產生的干擾力

圖2 單自由度被動隔振系統Fig.2 Passive vibration isolation system with single degree of freedom

將式(1)進行拉普拉斯變換可以得到被動隔振系統中擾動端位移到敏感載荷端位移的傳遞函數為

(2)

可得

式中ωnx——位移傳遞無阻尼自然角頻率

ζx——位移傳遞阻尼比

有阻尼系統的自然角頻率為

(3)

同理，可以得到被動隔振系統中干擾力到敏感載荷端受力的傳遞函數為

(4)

可得

ζf=(M+m)c/(2Mmωnf)

式中ωnf——力傳遞無阻尼自然角頻率

ζf——力傳遞阻尼比

有阻尼系統的自然角頻率為

(5)

圖3 位移傳遞與力傳遞對比Fig.3 Comparison of displacement transfer and force transfer

根據式(2)、(4)繪制位移傳遞和力傳遞的伯德圖如圖3所示，可得知擾動位移和干擾力在相對高頻處具有較好的衰減率，但在各自固有頻率處都產生了諧振峰，在相對低頻時，由于彈簧力和阻尼力的作用干擾力微弱衰減，而擾動位移則在相對低頻完全傳遞。為了降低固有頻率處與相對低頻處的擾動傳遞并保持相對高頻處的衰減率，引入壓電陶瓷作為驅動器構建主動隔振系統，如圖4所示。

圖4 單自由度主動隔振系統Fig.4 Active vibration isolation system with single degree of freedom

將壓電陶瓷作動器簡化為主動力與彈簧阻尼器并聯的形式，得單自由度主動隔振器動力學方程為

(6)

式中fa——壓電陶瓷作動器主動力

在不同控制律和控制策略下主動力的形式會發生變化。如圖5所示選取容易測量且靈敏度高的力信號作為反饋的控制律進行分析[21]。

圖5 單自由度力反饋主動隔振系統Fig.5 Active vibration isolation system with single degree of freedom based on force feedback

將力傳感器測得的相對作用力作為主動隔振系統的反饋信號，通過控制器產生的控制信號驅動壓電陶瓷作動器產生主動力，實現系統的振動主動控制。其拉氏變換的數學表達如下

F=Ms2Xp(s)

(7)

Fa=-H(s)F

(8)

式(8)中的H(s)表示任意控制器的反饋策略，聯立式(7)、(8)與式(6)的拉氏變換形式，得到單自由度力反饋主動隔振系統的干擾位移傳遞函數為

(9)

同理，可得單自由度力反饋主動隔振系統的擾動力傳遞函數為

(10)

2 主動振動控制策略

2.1 PI控制

PID控制是目前工程應用中最為廣泛的控制方法，其基于誤差進行比例環節、積分環節、微分環節運算反饋實現消除誤差的目的，由此可得PID控制的控制律為

(11)

以擾動位移傳遞為例進行分析，將式(11)代入式(9)可得

(12)

為確定基于力反饋的PID控制器的穩定性，選定比例環節參數kp和積分環節參數ki，使微分環節參數kd由零變為無窮時的根軌跡如圖6所示。

圖6 PID控制閉環傳遞函數的根軌跡Fig.6 Root locus of closed loop function of PID control

(13)

通過式(13)和圖7可以發現，改變參數kp可以改變系統等效質量進而改變系統等效諧振頻率，使諧振峰左移。而改變參數ki可以改變系統的等效阻尼，在不改變高頻衰減特性的情況下實現諧振峰的抑制。當選取適合的控制參數時，諧振頻率處以及高頻處都會取得較好的隔振效果。

圖7 力反饋PI控制的位移傳遞Fig.7 Displacement transfer curves based on PI force feedback control

在實際工程應用中，傳感器測得的信號存在靜態誤差。而積分器的引入會導致誤差累積，控制量容易飽和，進而使主動控制失效。因此，在實際控制中不得不通過濾波器消除靜態誤差，并進一步討論濾波器對PI控制的影響。

通過計算可知采樣頻率fs為10 kHz，通帶范圍10～500 Hz的二階巴特沃斯帶通濾波器即可滿足要求，其傳遞函數[23]為

(14)

式中ωl——濾波器低截止角頻率

ωu——濾波器高截止角頻率

隔振系統中加入PI控制與二階巴特沃斯帶通濾波器之后，控制律H(s)=HPI(s)HB(s)擾動位移傳遞的閉環傳遞函數變為

(15)

如圖8所示，加入濾波器后，調節控制參數kp時，PI控制的隔振系統會隨著參數的增大，變得不穩定。因此，實際控制中無法達到最優的控制參數，使控制效果不佳。

圖8 PI控制閉環傳遞函數的根軌跡Fig.8 Root locus of closed loop function of PI control

2.2 線性自抗擾控制

線性自抗擾控制器(Linear active disturbance rejection controller, LADRC)[24]，是在HAN[25]提出的自抗擾控制器(ADRC)基礎上發展而來的，是在傳統PID控制思想的基礎上，引入線性擴張狀態觀測器(LESO)進行擾動估計。LESO通過被控對象的輸入、輸出信息實現系統的狀態量和被擴張狀態量的實時估計，其中被擴張狀態量即為系統的模型不確定性產生的內擾與外界擾動的總和廣義擾動的估計。

本文研究對象為單自由度主動隔振器為二階系統，以二階系統為例進行分析，即

(16)

式中u——系統輸入y——系統輸出

w——系統的外部擾動

參數a、b、d都是未知，用以描述模型的不確定性。引入參數b的估計值b0可將式(16)變換為

(17)

研究對象以狀態方程的形式描述為

(18)

式(18)中的x3為擴張的狀態量，表示系統總擾動r，h描述未知的擾動，研究對象的狀態空間方程可表示為

(19)

其中

基于狀態空間方程和龍貝格觀測器，構建線性擴張觀測器的狀態空間方程為

(20)

其中

式中z——狀態量x的估計值

L——觀測器的增益矢量

L值可由極點配置法λo(s)=(s+ωo)3=s3+β1s2+β2s+β3求得，ωo為系統的觀測器帶寬，其值決定了擴張狀態觀測器的準確性。

通過線性擴張觀測器可以得到狀態量x3=r的估計值z3=，令u=(-z3+u0)/b0，可得控制器選用PD控制，則u0=kp(yr-z1)-kdz2，其中yr為系統期望，控制參數可以通過調節λc(s)=(s+ωc)2=s2+kds+kp的ωc進行調節，ωc為控制器帶寬，其值決定了系統輸出的平穩性以及響應的快速性。通過PD控制器與狀態擴張觀測器的結合將LADRC簡化成一個kdz2的雙積分器形式的控制器。從而在未應用積分器的情況下通過LESO估計補償了系統的不確定，實現了誤差積分的效果，其控制框圖如圖9所示。其基于力反饋的主動隔振控制律為

(21)

圖9 二階線性自抗擾控制框圖Fig.9 Structure diagram of the second-order linear active disturbance rejection controller

將式(21)代入式(9)中即可得到基于力反饋的LADRC主動隔振控制系統的干擾位移傳遞函數為

(22)

通過式(22)和圖10可以發現，調節控制參數kp可以改變系統的等效剛度使諧振峰位置改變，并且在低頻處產生衰減。而調節控制參數kd則可改變系統的等效阻尼，在不改變高頻衰減特性的情況下實現諧振峰的抑制。選取適合的控制參數時，控制不僅在諧振頻率處和高頻處取得較好的隔振效果而且在低頻處也具有一定的隔振性能。

圖10 力反饋LADRC控制的位移傳遞Fig.10 Displacement transfer curves based on LADRC force feedback control

通過以上針對兩種控制器理論上推導與對比分析，發現PI控制在不考慮濾波器等造成系統延時的環節時，能夠干擾位移傳遞的諧振頻率以及相對高頻處取得較好的隔振效果。但是由于靜態誤差的存在，積分器的引入容易引起控制量飽和，因此考慮了加入二階巴特沃斯帶通濾波器對主動隔振控制系統的影響。發現由于濾波器的影響，主動隔振系統會在控制參數調節的過程中變得不穩定，影響控制效果。而LADRC控制通過PD控制與擴張狀態觀測器結合，估計主動隔振系統的不確定干擾并進行補償。在未應用積分器的情況下實現了雙積分器的控制效果，在相對低頻、諧振頻率以及相對高頻的全頻帶實現了較好的控制效果。

3 單軸隔振實驗

前文對航天器微振動單自由度主動隔振器進行了建模與分析，并針對PI控制和LADRC控制的主動隔振效果進行了理論分析。為驗證理論推導與分析的正確性，搭建了單自由度主動隔振器進行微振動的主動控制實驗。如圖11所示，單自由度主動隔振器由激振器、加速度傳感器、力傳感器、壓電陶瓷作動器以及搭建的Simulink Real-Time實時控制系統組成。實驗采用大剛度鋼絲繩懸掛的方式平衡重力對隔振系統的影響，激振器為隔振系統提供變頻率的擾動源；而擾動端的加速度傳感器和力傳感器則是為了測量輸入擾動信號，負載端的加速度傳感器是為了測量負載端信號；負載端力傳感器的主要作用是將力信號反饋到控制器以控制壓電陶瓷作動器。

圖11 單自由度主動隔振器Fig.11 Active vibration isolator with single degree of freedom1.激振器 2.加速度傳感器 3.保護鉸鏈 4.壓電陶瓷作動器 5.力傳感器

3.1 開環實驗

為研究單自由度主動隔振器開環狀態下的干擾位移傳遞特性，進行了開環隔振實驗。激振器在20～500 Hz的頻帶范圍內，每10 Hz輸入一次擾動信號，通過配置在前后兩端的加速度傳感器測量擾動端的輸入信號以及負載端的輸出信號。將輸入輸出信號進行傅里葉變換，進而可以得到擾動位移傳遞的頻率響應曲線如圖12所示。

圖12 開環干擾位移傳遞頻率響應圖Fig.12 Open loop frequency response diagram of disturbance displacement transmission

根據開環實驗結果，對單軸隔振器進行參數辨識得到參數M=20.197 kg,m=20.333 kg,k=2.1×107N/m,c=700 N·s/m，并將參數應用到前文的理論推導中。圖12中的位移傳遞曲線與圖3中理論分析的結果完全一致，都是在相對低頻處完全傳遞，其諧振頻率為160 Hz，在諧振頻率附近產生位移的激振，在相對高頻處擾動位移會將衰減。需要說明的是本文研究的隔振器應用對象是高精密航天器，其質量較大，而在進行實驗時，前后兩端的質量塊質量僅為20 kg，遠小于實際航天器的質量，從而導致隔振系統的固有頻率相對較高。

3.2 主動隔振實驗

在驗證了隔振系統的開環擾動位移傳遞特性后，采用前文研究的PI控制和LADRC控制進行主動隔振實驗。為確保較好的實時性，采用搭建的Simulink Real-Time實時控制系統進行采樣頻率為10 kHz的主動隔振實驗。

振動主動控制的結果如圖13所示，PI控制雖然在諧振頻率處以及相對高頻處具有較好的衰減效果，但是在相對低頻處卻產生了諧振。其主要原因是控制參數kp的增大會使系統的諧振峰左移，需要不斷增加積分器參數kd改變系統的等效阻尼。而為了消除穩態誤差引入的濾波器產生的延時影響了控制參數的調節，參數的調節容易引起隔振系統的不穩定，從而導致PI控制無法達到最優的控制效果。而LADRC控制不僅在諧振頻率處和相對高頻處具有較好的隔振效果，在相對低頻處也展現了良好的隔振性能，衰減率可達10 dB，諧振頻率和高頻段可達20 dB。如圖14所示，可以發現LADRC主動控制在低頻、諧振頻率處以及高頻處均具有較好的隔振效果。

圖13 主動隔振擾動位移傳遞頻率響應圖Fig.13 Active vibration isolation frequency response diagram for disturbance displacement transmission

圖14 LADRC主動隔振效果Fig.14 Active control effect of LADRC

4 結論

(1)針對航天器微振動隔離的要求，分別建立了單自由度隔振器擾動位移傳遞與干擾力傳遞的開環傳遞函數，并推導了單軸隔振器基于力反饋的閉環傳遞函數。以擾動位移隔離標準為例，理論推導了PI控制器和LADRC控制器的控制律并應用到力反饋閉環傳遞函數中進行主動振動控制的研究。考慮實際應用中靜態誤差的存在，積分器的引入會使得控制量極易達到飽和，導致控制失效。為此，引入巴特沃斯帶通濾波器，通過含濾波器的閉環傳遞函數證明了濾波器容易引起隔振系統不穩定，PI控制參數難以達到最優。理論推導發現LADRC控制具有全頻帶較好的隔振效果且魯棒性較好。

(2)為驗證主動振動控制的效果，搭建了單軸主動隔振器。進行了單軸隔振器的開環實驗，并將參數辨識得到隔振器各參數應用到理論推導中，實驗結果與理論推導結果相吻合。分別采用PI控制和LADRC控制進行主動隔振實驗，實驗結果與理論分析一致。PI控制在低頻時的隔振效果較差且由于濾波器的引入無法達到最佳的控制效果，而LADRC控制則在全頻段都有較好的隔振效果，在低頻段衰減率達到10 dB，諧振頻率和高頻段可達20 dB。