基于改進NSGA-Ⅱ算法的拖拉機傳動系統匹配優化

傅生輝 李 臻 杜岳峰 毛恩榮 朱忠祥

(1.中國農業大學工學院， 北京 100083； 2.現代農業裝備優化設計北京市重點實驗室， 北京 100083)

0 引言

拖拉機動力傳動系統的速比匹配直接決定整機作業性能，對其動力性和燃油經濟性均有重要意義[1]。傳統的拖拉機傳動系統匹配設計多沿用汽車變速器設計方法，采用等比級數分配或依靠經驗偏置等比級分配各擋傳動比[2]，不能兼顧動力性和燃油經濟性，充分發揮拖拉機工作性能，具有一定的局限性。

目前，針對拖拉機傳動系統速比匹配研究較少，多集中在汽車領域，主要以最高車速、加速時間、驅動功率損失率、典型循環工況百公里油耗、能量利用率等為目標進行優化[3-7]。其中，張抗抗等[8]建立了以最高車速、加速性能和百公里電耗為目標函數的優化模型，通過多目標遺傳算法對電動汽車傳動比進行了優化設計；程方曉[9]提出一種基于自適應保持多樣性遺傳算法的傳動系傳動比優化方法，實現了不同類型車輛的傳動系參數優化；雷嗣軍[10]利用Matlab和Advisor實現了基于多目標遺傳算法的汽車傳動系統聯合優化仿真設計；ZHANG等[11]根據爬坡能力和NEDC循環工況建立了汽車動力性和經濟性優化模型，提出了基于模擬退火遺傳算法的傳動系匹配優化方法；王粉粉[12]綜合考慮拖拉機不同擋位的實際作業需求，引入加權因子建立拖拉機動力性和經濟性綜合評價指標，利用遺傳算法實現了拖拉機傳動比的匹配優化。

多目標進化算法如今已成為求解復雜非線性NP問題的必要手段。常用的多目標進化算法主要有蟻群算法(Ant colony optimization，ACO)、強度帕累托進化算法(Strength pareto evolutionary algorithm，SPEA)、粒子群算法(Particle swarm optimization，PSO)、非支配排序遺傳算法(Non-dominated sorting genetic algorithm，NSGA)等[13-17]。其中，DEB等[18]提出的NSGA-Ⅱ算法以其Pareto支配的選擇模式并輔以密度估算選擇勝出機制而成為多目標進化算法的典范，廣泛應用于電網系統規劃[19-24]、管網優化設計[25-26]、機械手軌跡規劃等領域[27-28]，是迄今為止最優秀的多目標進化算法之一。但該算法通過計算聚集距離來保持種群分布性的機制存在一定缺陷，容易導致算法陷入局部最優[29]。

基于此，本文提出一種改進NSGA-Ⅱ算法，用于求解拖拉機動力傳動系統速比匹配優化問題，通過優化傳動系傳動比分配，以期有效處理整機動力性和燃油經濟性需求間的突出矛盾，提高拖拉機整機綜合性能。

1 拖拉機傳動系統匹配優化模型

1.1 目標函數的建立

以拖拉機驅動功率損失率和比燃油消耗損失率作為整機動力性和燃油經濟性評價指標，建立傳動系統優化匹配目標函數。

(1)驅動功率損失率

對于n擋變速箱，j擋下拖拉機驅動力為

(1)

式中Fqj——j擋下拖拉機驅動力，kN

Te——發動機轉矩，N·m

ij——j擋的總傳動比

ηc——總傳動效率，%

rq——驅動輪動力半徑，m

拖拉機各擋理論速度為

(2)

式中vj——j擋下的理論車速，km/h

ne——發動機轉速，r/min

則j擋時驅動力曲線與橫坐標所圍面積為

(3)

式中v——拖拉機理論車速，km/h

理想驅動特性曲線所圍成面積為

(4)

式中Tp——最大功率時的輸出轉矩，N·m

np——最大功率時發動機轉速，r/min

Fq——理想特性下的驅動力，N

驅動功率損失率ηFj定義為

(5)

驅動功率損失率反映了拖拉機傳動系統特性與理想傳動系統的差距，也反映了發動機動力性能的發揮程度，該值越小，說明發動機與傳動系在動力性能方面匹配得越好。

(2)比燃油消耗損失率

拖拉機工況繁多，作業環境復雜，其燃油經濟性無法僅用典型循環工況油耗或等速行駛百公里燃油消耗量等特定工況衡量。基于此，本文結合拖拉機牽引燃油消耗率和動力輸出軸燃油消耗率定義，采用比燃油消耗損失率作為拖拉機燃油經濟性評價指標，其值越小，說明拖拉機動力傳動系統間的經濟性匹配越有效。

(6)

式中ξgj——j擋時拖拉機比燃油消耗損失率

gTL——具有理想驅動特性的拖拉機比油耗

Agj——j擋時拖拉機比油耗曲線所圍面積

Sgj——j擋時理想驅動特性下拖拉機比油耗曲線所圍面積

gTj——j擋時的拖拉機比油耗

綜上，拖拉機傳動系統優化目標函數為

(7)

式中X——優化變量集合

f1(X)——動力性評價目標函數

f2(X)——經濟性評價目標函數

1.2 傳動比優化約束條件

拖拉機變速箱傳動比分配需要滿足設計理論車速、驅動力附著限制、最大牽引力、傳動比公比等一系列約束條件。

(1)理論車速

若拖拉機Ⅰ擋在發動機額定轉速ned下設計車速為Va，最低穩定轉速nmin時設計起步車速為Vd，設計最高車速為Vc。而根據作業速度要求，基本作業擋中頭擋理論車速vb應大于5 km/h，則拖拉機理論車速應滿足

(8)

(9)

(10)

式中v1min——Ⅰ擋理論起步車速，km/h

v1——Ⅰ擋額定轉速時理論車速，km/h

vmax——最高理論車速，km/h

ib、in——作業擋頭擋和最高擋總傳動比

(2)驅動力附著限制

受限于地面附著條件，最大驅動力應滿足

(11)

式中Fqmax——最大驅動力，N

Qq——驅動輪垂直載荷，N

φ——允許附著系數，約為0.6～0.8

(3)最大牽引力

拖拉機最大牽引力按犁耕作業工況時基本作業的頭擋計算，同時保留10%～20%的儲備牽引力，以應對不同工況和農具引起的阻力變化。

(12)

式中z——犁耕犁鏵數，取5

b——單犁鏵寬度，取30 cm

h——耕深，取25 cm

k——土壤比阻，取8 N·cm2

Ga——拖拉機質量，kg

f——滾動阻力系數，留茬地為例，取0.06

(4)滾動阻力

在公路運輸工況下，拖拉機達到最高車速時，驅動力應克服滾動阻力，即

(13)

式中f′——公路滾動阻力系數，取0.03

Ted——拖拉機額定轉矩，N·m

(5)相鄰傳動比公比

選取John Deere、Case IH、New Holland等品牌拖拉機裝配的10款部分動力換擋變速箱，功率覆蓋100～164 kW，對其變速箱傳動比分配進行分析，如圖1所示。

圖1 動力換擋變速箱傳動比公比Fig.1 Gear ratio of power-shift transmission

由圖1可知，不同品牌的拖拉機變速箱雖然擋位數、功率范圍等性能指標存在差異，但傳動比公比均遵循以下原則：①動力換擋主變速箱傳動比接近等比級分配，公比約為1.2～1.28。②區段換擋部分相鄰擋位傳動比公比在1.18～2.39之間，同一型號變速箱各區段均不相同，qAB>qCD>qDE>qBC。B、C區段為基本作業速度范圍，擋位分布比較集中，傳動比公比較小，而A區段多為緩行擋和爬行擋，D、E區段主要為運輸擋，均不需要較多擋位，因此擋位分布相對稀疏，傳動比公比較大。

2 改進NSGA-Ⅱ多目標優化算法

NSGA-Ⅱ算法核心思想如圖2所示，針對其在非支配解的空間搜索能力和保持種群均勻性方面的不足，本文引入正態分布交叉算子(Normal distribution crossover，NDX)和差分變異算子來提高算法尋優能力。

圖2 NSGA-Ⅱ算法核心思想Fig.2 Core of NSGA-Ⅱ algorithm

2.1 正態分布交叉算子

利用NDX算子替代模擬二進制交叉算子(Simulated binary crossover，SBX)，在保證非支配解集質量基礎上，進一步提升算法的全局搜索能力，更容易跳出局部最優。

假定父代p1、p2，NDX算子產生子代個體，對于第i個變量，其交叉過程為

(u≤0.5)

(14)

(u>0.5)

(15)

式中u——區間(0,1)的隨機數

|N(0,1)|——正態分布隨機變量

為驗證NDX算子的合理性，本文在一維搜索空間對NDX算子和SBX算子搜索能力進行比較。給定兩個父代個體空間位置，對兩種算子獨立計算6 000次，即分別產生12 000個子代個體，統計各自在搜索空間的分布情況，如圖3所示，其中，p1=0.7，p2=0.2，搜索概率均為0.5。其搜索空間分布如圖3所示，與SBX相比，NDX算子搜索范圍更廣，更容易跳出局部最優解，且更容易獲得完整Pareto解。

圖3 兩種算子一維搜索空間分布Fig.3 Search space distribution of NDX and SBX

2.2 差分局部搜索策略

差分算法(Differential evolution，DE)本質上是一種具有保優思想的貪婪遺傳算法，采用差分變異策略對個體進化方向進行干預擾動，具有局部尋優的優勢。因此，本文采用DE算法中的差分向量作為變異算子，提高算法的局部搜索能力。

(16)

式中r為相鄰個體對變異方向的影響程度，區間為[0,1]。r值越大，影響程度越大。

差分局部搜索策略首先需要找到當前代種群中非支配層級最高的個體集F(1)，并通過計算距離閾值，選擇需進行局部搜索的相鄰個體，并利用式(16)產生新個體。其次，檢查新個體與原始個體是否滿足相互非支配關系，若滿足，將新個體并入當前集合，形成新個體集，否則，丟棄新個體，然后計算新個體集的擁擠距離，根據擁擠距離保留新個體。其中，距離閾值和相鄰個體選擇具體如下：

(1)距離閾值。找到當前種群非支配集合F(1)在子目標i的兩個極值端點，求解子目標i的目標值差，記為Di，根據

(17)

式中 |F(1)|——當代種群中最高層級的非支配集個體數目

計算子目標i的距離閾值δi。距離閾值δi在進化過程中將隨|F(1)|的規模變化而動態調整，從而保證當代Pareto前沿的均勻分布。

(2)選擇相鄰個體。對非支配集按子目標i進行排序，將相鄰個體的距離與子目標i的距離閾值δi進行比較。若大于或等于δi，且相鄰個體在其他子目標下的目標值至少有一對不相等，則相鄰個體需要執行差分局部搜索。差分搜索在進化初期有助于種群分布的均勻性和廣泛性，避免算法陷入局部最優。

2.3 改進NSGA-Ⅱ算法流程

綜上，改進NSGA-Ⅱ算法求解流程如圖4所示。

圖4 改進NSGA-Ⅱ算法流程圖Fig.4 Flow chart of improved NSGA-Ⅱ algorithm

3 算法驗證

為驗證所提算法的有效性，采用4個不同的MOP測試函數ZDT1、ZDT2、ZDT3和ZDT6驗證算法性能。此外，為評估Pareto解集的分布性，采用文獻[29]提出的空間分布均勻性指標SP進行評價。SP值越小，解集分布越均勻。

(18)

其中di=min(|f1,j(x)-f1,i(x)|+|f2,j(x)-f2,i(x)|)

di——當前解集中第i個解的目標值與其最近鄰解目標值的距離

程序運行環境為Matlab R2015a，算法設置參數為：初始種群50，進化代數500，交叉概率0.9，變異概率0.1。利用本文改進算法與原NSGA-Ⅱ算法求解測試函數的Pareto解集，并與測試函數真實的Pareto前沿(500個取樣點)進行對比，結果見圖5。

從圖5可知，改進NSGA-Ⅱ算法與原NSGA-Ⅱ算法均得到了較好的Pareto前沿，但與原算法相比，本文算法收斂性相對較好，求得的Pareto解更接近測試函數的真實Pareto最優解，而且原NSGA-Ⅱ算法解集個體分布不均勻，在某些區域個體分布過于集中，而某些地方個體稀疏，甚至沒有個體。運行10次統計得到SP均值及標準差。兩種算法在不同測試函數上的分布性評價指標SP對比結果如表1所示，從表中可以看出，改進NSGA-Ⅱ算法在解集分布均勻性和穩定性方面均優于原NSGA-Ⅱ算法，進一步說明了本文算法的有效性。

4 傳動比匹配優化分析

為驗證本文算法的合理性和有效性，以表2所示的某型號拖拉機為例，利用本文算法對變速箱傳動比進行優化。此外，與NSGA-Ⅱ算法、文獻[12]中的加權遺傳算法等進行對比試驗。

圖5 不同測試函數的Pareto前沿對比Fig.5 Comparison of Pareto fonts of test functions obtained by NSGA-Ⅱ and improved NSGA-Ⅱ

參照文獻[30]，利用發動機臺架試驗數據建立發動機穩態輸出轉矩模型

(19)

式中α——油門開度

表1 算法的分布性SP均值及其標準差比較Tab.1 Comparison of average value and standard deviation of SP

表2 拖拉機整機及發動機基本參數Tab.2 Tractor and engine basic parameters

同理，建立拖拉機燃油消耗率模型

(20)

4.1 基于改進NSGA-Ⅱ算法的傳動比優化

基于改進NSGA-Ⅱ算法的拖拉機傳動比優化參數設置如下：初始種群為100，最大進化代數為200，交叉概率0.9，Pareto前端個體系數為0.3。根據非支配排序獲取Pareto前沿，如圖6所示，Pareto最優解分布較為均勻，連續性強，反映出本文算法具有良好的空間搜索與收斂能力。

圖6 改進NSGA-Ⅱ算法優化結果Fig.6 Optimization results of improved NSGA-Ⅱ

為選出最佳傳動比，引入隸屬度函數，通過隸屬度反映對目標優化結果的滿意程度。綜合拖拉機動力性和經濟性目標函數的隸屬度選取變速箱傳動比最優配置。首先利用

(21)

式中φi,k(X)——目標函數i第k個解的隸屬度

fi,max、fi,min——目標函數最大值、最小值

計算Pareto解中所有目標函數的隸屬度，然后根據拖拉機設計偏好設置權重，通過

(22)

式中λi——隸屬度權重

φk(X)——第k個解的隸屬度加權值

計算隸屬度加權值，最大值對應的Pareto解為最優解。

4.2 優化結果對比分析

在算法對比試驗中，NSGA-Ⅱ算法與本文算法的參數設置基本相同。加權遺傳算法與文獻[12]中的參數保持一致，交叉概率為0.8，最大進化代數為200，初始種群為100。利用3種不同算法實現的拖拉機傳動比匹配優化結果如表3所示。

表3 基于3種算法的傳動比優化結果對比Tab.3 Comparison of drive ratios optimized by three algorithms

從表3中可知，與優化前相比，3種算法優化后拖拉機傳動比分配均有明顯改變。Ⅰ～Ⅳ擋傳動比降幅較大，基本作業擋與優化前基本保持一致，運輸擋傳動比優化結果差別明顯。經本文算法優化后，除直接擋傳動比保持不變外，其他運輸擋傳動比均略高于優化前傳動比，排擋更稀疏，相應的速度變化范圍更廣。

圖8 3種算法優化的拖拉機動力性與經濟性對比Fig.8 Comparison of tractor power and fuel economy optimized by three algorithms

為進一步分析各算法優化結果的差異，本文對比了采用不同算法得出的拖拉機理論車速，如圖7所示。與優化前相比，優化后拖拉機各擋車速均有明顯提高，速度分布更合理。其中，NSGA-Ⅱ算法與文獻[12]算法優化結果基本一致，低速擋位車速明顯提高，特別是Ⅰ擋理論車速分別提高17.82%和25.11%，其他擋位作業速度提高了1.28%～18.73%，最高車速分別達到了32.13、34.33 km/h。經本文算法優化后，Ⅰ擋車速提高了20.15%，最高擋車速降低至30.20 km/h，基本作業擋車速提高了0.48%～5.46%，Ⅳ擋車速達到4.99 km/h，基本作業擋覆蓋范圍更廣。此外，除直接擋外，運輸擋各擋工作速度分別降低了1.79%、3.70%和4.82%，變速箱排擋更集中，可滿足不同的作業需求。

圖7 基于3種算法優化的拖拉機理論車速對比Fig.7 Comparison of theoretical speeds optimized by three algorithms

圖8為不同算法的拖拉機動力性與燃油經濟性優化結果對比。由圖8可知，優化后各擋驅動力略有下降，驅動功率利用率和燃油經濟性顯著提高。在5～20 km/h主要作業速度區間擋位分布較為集中。其中，文獻[12]算法側重拖拉機動力性表現，因此，整機的動力性優化效果最優，驅動功率損失率為20.19%，更接近理想驅動力曲線。然而比燃油消耗損失率為8.62%，低于NSGA-Ⅱ算法的6.29%和本文算法的4.23%。NSGA-Ⅱ算法和本文算法均能兼顧拖拉機動力性和經濟性表現。采用本文算法后，拖拉機的驅動功率損失率和比燃油消耗損失率分別比NSGA-Ⅱ算法降低了4.17%和32.75%，比優化前降低了41.62%和62.80%，說明本文優化效果更佳。

表4為詳細的優化前后拖拉機性能指標對比，從中可以看出，本文算法的優化效果更好，拖拉機車速范圍更符合實際作業需求，速度分布更合理。此外，運輸擋頭擋爬坡度為45.07%，高于其他算法的39.57%和38.07%，較優化前提高了2.35%，整機性能得到明顯改善。

表4 基于3種優化算法的拖拉機性能指標比較Tab.4 Performance comparison of tractor optimized by three algorithms

5 結論

(1)提出了一種改進NSGA-Ⅱ算法。該算法引入正態分布交叉算子和差分搜索策略，擴大了搜索范圍，提高了算法的局部尋優能力，利用4組標準測試函數對改進算法進行了性能測試，證明了該算法的有效性。

(2)針對拖拉機傳動比匹配優化問題，以拖拉機驅動功率損失率和比燃油消耗損失率作為動力性和燃油經濟性評價指標，建立傳動系統優化數學模型，基于改進NSGA-Ⅱ算法求解得到了Pareto解集，然后利用隸屬度加權計算得到最優傳動比分配。多種算法優化結果對比表明，本文方法可實現驅動功率損失率和比燃油消耗損失率分別降低41.62%、62.80%，運輸擋頭擋爬坡度提高2.35%，擋位分布更加合理，能夠適應更多復雜工況。進一步驗證了本文算法求解多目標優化問題的有效性。