簡單的等號，不簡單的語義功能

姚賽英

摘 要：一個簡單的由兩條線段組成的“=”，作為一個關系符號，在小學數學不同的教學內容中描述著不同的等號語言，表述著不同的意義，滲透著不同的數學理念。作為關系符號的等號，可以表述為一種相等的數量關系，可以是一種程序關系、是一種算法和規律、是一種方法，可以在邏輯上表明一種等價關系，它還可以是一種命令……原來，簡單的等號并不簡單。通過梳理分析各冊教材，結合教學實踐，對小學數學教學中如何滲透等號表達的不同作用，引導學生真正理解等號的意義進行了初步研究、整理和再思考。

關鍵詞：教材編排；等號語言；等號意義；等號應用

關于等號，1557年，由英國數學家列科爾德首創，他在《智慧的磨刀石》中寫道：“為了避免枯燥地重復（等于）這個短語，我認真比較了許多圖形和記號，覺得世界上再也沒有比兩條平行而又等長的線段，意義更加相同了。”

對于等號，孩子們從幼兒園起就有了前概念，一個蘋果+一個蘋果=兩個蘋果（1+1=2），兩個小朋友走了一個小朋友，還剩一個小朋友（2-1=1）。而真正學習和理解等號的意義、作用，是從小學一年級數學教材開始的。

等號作為數學中的基本符號之一，使用頻率很高而且方便，但實際上我們常常忽視對等號教學的研究，它往往被簡單地看成是計算結果的符號過程。而事實上，一個簡單的由兩條線段組成的“=”，在小學數學不同的教學內容中描述著不同的等號語言，表述著不同的意義，滲透著不同的數學理念。

于是，筆者翻閱了小學數學的十二冊教材，對等號的教材安排和等號的語言表達功能進行了初步的分析與整理，對應用等號的教學進行了初步的思考。

一、等號在教材中的總體編排情況

在十二冊數學教材中，總體來說等號的關系特征有梯度但不明顯，表現形式穿插在各冊教材中，呈現著不同的作用。在同一個語言功能中，可以發現有較明顯的梯度體現，以下舉例中將論證這一編排特點。

二、等號的具體教材編排與語言功能

（一）等號表述一種相等的數量關系，過程遞進

一年級上冊第17頁，3=3，小學數學教材第一次出現“=”這個符號概念，表示左右兩邊的量相等。在這里，沒有程序性關系，等號只是純粹地表述兩個量“一樣多”的相等關系。

一年級上冊第24頁，3+1=4，圖形與算式結合，等號在這里開始過程性地表述左右兩邊的量相等。左邊3個氣球通過增加1個氣球這個過程能和右邊的4個氣球一樣多。

一年級上冊第25頁，松鼠圖3+2=（5），等號的過程性語言表述更進一步，從3后面接著數4，5，就能到達5只，使左右兩邊相等。

一年級上冊第27頁，4-（ ）=（ ），等號的過程性語言更加開放，想法不同，就會出現不同的過程性計算，使左右兩邊相等。

像這樣等號表述相等關系的語言功能在后續幾冊教材中分層出現。

一年級上冊，5+2+1=8表述連續性過程；三年級上冊第96頁■+■不同計數單位的計算。

（二）等號表述一種算法和規律

四年級下冊第17頁，運算定律40+56=56+40；四年級下冊第25頁，（25×5）×2=25×（5×2），五年級下冊■=■=■在這里等號表示的是一種算法，左邊的計算方法等同于右邊的算法，并且算法可逆。在這里，算法可顛倒性比算法的結果更重要。

（三）等號在邏輯上表明一種等價關系

如：a=b，a=c那么b=c；a=b那么b=a

a=a是自身性特征，a=b那么b=a屬于反身性特征，a=b，a=c 那么b=c這種屬于傳遞性特征。

四年級上冊第35頁：1平方千米=1000000平方米=100公頃

四年級上冊第42頁：1周角=2平角=4直角

四年級下冊第38頁：1分米=10厘米=100毫米

六年級下冊第40頁：

（四）等號表述程序性語言

一年級下冊第50頁，25=20+（ ）在十二冊教材里這是第一次出現等號左邊是結果，等號右邊是算式的情況。在這里，等號已經作為一個程序性關系符號出現，建立起一個程序操作使等號左右兩邊結果相等。

如：五年級上冊第72頁解方程x+3-3=9-3，借助天平理解兩邊同時添加一個或多個程序使等式成立，并且求出x的值。五年級下冊第64頁分解質因數24=2×2×2×3，通過一個短除法的程序得到分解質因數的展開過程。

（五）等號表示建立方程

五年級上冊第68頁用等號建立一個方程100+x=250，使左右兩邊保持平衡，經歷將現實問題抽象成等式與方程的過程，積累將等量關系符號化的活動經驗。

（六）等號表述一種方法

（1）x+x=x=6，x+y=5，可以求出x和y的值

（2）如：S=ab，C=4a，V=abh，如：總價=單價×數量

五年級下冊第31頁：長方體的體積=長×寬×高

六年級上冊第68頁：圓周長公式C=πd，C=2πr

六年級下冊第56頁：圖上距離：實際距離=比例尺

六年級上冊第89頁：發芽率、出勤率

（七）等號是一個命令

四年級上冊第26頁，用計算器計算，等號作為一個按鍵，在這里賦予命令計算的指令。

三、應用等號教學的再思考

（一）等號在教學中應用的現狀分析

十二冊教材中關于等號內容的編排是有一定梯度的，但教材不會說話，等號在教學中的實際應用、等號的語言表達功能常被忽視，導致等號的關系特征不明顯。主要原因有：

1.過于追求“熟能生巧”

一、二年級起，為了加快學生的口算速度，老師們往往會想盡辦法讓每一個孩子運用巧算、速算提高計算能力，如開小火車、搶答、口算過關等。這種孰能生巧的訓練方式對提高計算能力的確有好處，但同時，學生就會習慣于認為等號只是用來連接算式和答案的符號，認為等號是用來執行一種計算的，最后只表示一個計算結果。

2.沒有凸顯“關系轉化”

根據兒童的年齡特征，他們很難自主地將數字命題類推轉化到等值關系的符號上，即運用符號到具體的問題情境上。以2+3=5為例，學生往往習慣性地想到2+3的計算結果是5，所以等號的右邊寫5作為計算結果。這樣的思維定式對于今后學習方程、不等式、滲透量與量之間的關系轉化都是有潛在問題的。

3.漠視等號“語義功能”

作為關系符號的等號，它的語義功能可以表述為一種相等的數量關系，可以是一種程序關系、一種算法和規律、一種方法，可以在邏輯上表明一種等價關系，它還可以是一種命令……但我們常常在教學中忽視它的這些功能，將功能單一化、簡單化。

（二）促進等號語言功能的教學策略

如何培養小學生的符號意識？如何凸顯等號的符號意義？筆者結合自己的教學實踐，提出了以下幾點粗淺的想法。

1.把握時機，重視等號學習的關鍵時期

曹培英老師說過：“社會生活以及幼兒園早已先于學校培養了兒童的符號意識，小學數學教學者應該以此為基礎培養數學的符號意識，而不是重復兒童已有的認知過程。”在小學低段，等號最初作為得出運算結果而出現，主要體現左右兩個量之間的邏輯相等關系，表述數與算式結果等值。但是，經過一定階段后，學生對等號的認識應該尋求突破，教學者應積極主動地構建多樣化、不同結構的等式，幫助學生進一步理解等號的含義，把握時機滲透等號表述的含義。

2.合理設計，突破單邊運算的思維定式

我們曾對4-3=1和3=4-（ ）這兩題做過檢測和統計，統計人數為一年級6個班250人，結果4-3=1的正確率為100%，3=4-（ ）的錯誤率高達65%。

分析原因，在孩子入學前，家長會教他們簡單的加減法，如2+3=5、10-3=7等，孩子眼中的等號其實只是得出結果前的過渡符號，作用與“→”是一樣的。其次，教師在教學時總是把重點放在認識新面孔“>”“<”上，認為孩子之前已經明白了“=”的意義。殊不知，他們遇到算式在前、數字在后的題目時（如2+5=7），把等號當作“→”，而遇到數字在前、算式在后的題目時（如3=4-□），自然而然會把等號當作“←”。

于是，我們嘗試巧用像天平這樣的媒介工具，使等號認知形象化，讓學生明白4-3=1與3=4-（ ）的運算意義不同，前者表述為一個數尋找等值的運算；后者表述一個運算程序能使等號兩邊平衡，從算術的角度可理解為數的分解，這有助于學生對等號含義的深入理解。

后測結果顯示，3=4-（ ）錯誤率僅剩約10%。

3.師生助力，增強等號應用的語言功能

數學家羅素說：“什么是數學？數學就是符號加邏輯。”其實，等號所表達的語言功能就是一種邏輯思維。那么，在教學中如何放大和增強等號的語言功能呢？

（1）教師的助推是引領

在等號應用的教學前，教師首先要吃透教材的編排特點，理解教學目標與重難點，其次是用良好的設計作為前提再去課堂中有效地引領，發揮等號的語義功能。在不同的教學內容中，要用合理的教學程序體現等號的不同作用，形成個性化的概念命題圖式，拓展它的語義替換功能。

（2）學生的助推是強化

在等號的語言功能里，讓學生主動學習表述等號不同的語義作用，強化等號在不同教學內容中的應用意識。如：4-3=1，可以學著描述左邊的4個去掉3個剩下1個和右邊的1個是相等關系；倒過來說，還可以表述成右邊有1個，和左邊的4個去掉3個剩下1個是相等的。學會多元化的表述、邏輯助推表達、表達體現邏輯，在思維過程中建立起更加準確的數量關系。

原來，簡單的等號蘊藏著那么不簡單的語義功能。對于貫穿數學所有教材的等號，它的不同含義、感知等號的語言功能，對于激發學生的數學思考、提高學生的邏輯思維能力是有積極助推力的。

關于等號與它的語意功能，我們還將繼續研究，并且逐步完善，使由等號建立的數學模型得到拓展和細化。

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編輯 溫雪蓮