石墨烯與金屬的歐姆接觸理論研究?

蒲曉慶 吳靜 郭強 蔡建臻

1)(北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院,北京 100191)2)(北京東方計量測試研究所,北京 100086)(2018年8月3日收到;2018年8月27日收到修改稿)

石墨烯材料應用于多種電子器件時不可避免地要與金屬電極接觸,它們之間的接觸電阻直接影響了器件的性能.為了揭示影響金屬電極與石墨烯間接觸電阻的因素,提出有效地抑制這些影響的措施,本文建立了一種求解接觸電阻的物理模型,將載流子的輸運分為金屬與正下方石墨烯之間、正下方石墨烯與鄰近石墨烯之間的兩個過程,分別研究各個過程的輸運概率;結合金屬電極與石墨烯接觸對載流子分布的影響分析接觸電阻,據此分別探討了金屬電極材料、柵極電壓、摻雜濃度、金屬與石墨烯原子距離等對接觸電阻的影響.為驗證理論分析結果的正確性,制作了金與石墨烯接觸的實驗樣品,實驗測得的接觸電阻與理論分析結果符合.理論分析結果表明,可通過選擇與石墨烯功函數接近的金屬材料,降低二氧化硅層厚度,增加載流子平均自由程,改進金屬材料的表面形態使其更光滑,減小金屬與石墨烯耦合長度等方法降低石墨烯與金屬電極的接觸電阻.

1 引 言

自2004年英國曼徹斯特大學的Novoselov和Geim等使用機械剝離法首次制備出石墨烯材料[1]以來,由于石墨烯在電學、光學、熱學、力學等方面具有優良的性能,已在高性能場效應管、傳感器、光電器件、量子化器件等得到應用[2?6].例如,在電學計量領域,石墨烯材料由于其高載流子遷移率、量子化電導和量子化霍爾效應,被應用于霍爾電阻的測量,測量精度可達到10?10量級[7?9];在光電領域,石墨烯由于其高光吸收率,被應用于紅外探測器、發射器和光電探測器等[10?12].

石墨烯應用于很多電子器件和傳感器時,不可避免地要與金屬接觸. 理想的石墨烯材料具有良好的導電性,電子遷移率可達到2×105cm·V?1·s?1[13],但在狄拉克點附近較小的態密度限制了金屬與石墨烯之間載流子的轉移,造成接觸區域的高接觸電阻.控制金屬與石墨烯間的接觸電阻,使其能不受制造環境和工藝的約束而復現低電阻值,對基于石墨烯的高性能電子器件的研制至關重要.Khomyakov等[14]利用第一性原理分析了石墨烯與金屬接觸時,載流子的相互作用和轉移情況,建立了物理吸附于石墨烯上的金屬的費米能級和功函數變化的一般模型,分析了化學吸附的金屬對石墨烯帶隙和金屬功函數的影響.Matsuda等[15,16]根據金屬與石墨烯之間相互作用力的大小,將金屬與石墨烯的接觸分為三類,從原子結構層面分析接觸耦合力、缺陷等因素對接觸電阻的影響.Chaves等[17]利用傳輸線方法分析金屬與石墨烯的接觸電阻,并利用隧穿電子密度進行了接觸電阻率的推導.傳統的半導體材料與金屬接觸時,接觸區域的載流子平均自由程遠大于金屬與半導體的耦合長度.石墨烯與金屬接觸時,載流子平均自由程并不滿足這一條件,因而需要對傳輸線模型進行校準,增加了理論推導的復雜度,同時此種方法難以考慮金屬下方半導體材料的薄膜電阻與半導體溝道薄膜電阻的差異.Xia等[18]建立了金屬與石墨烯接觸的二維物理模型,并提出金屬與石墨烯接觸時載流子的輸運過程分為載流子從金屬進入其下方的石墨烯,以及從金屬下方石墨烯到門控的石墨烯溝道的兩個過程,使得接觸電阻的理論分析更加簡單.

為了從本質上理解影響金屬電極與石墨烯的接觸電阻的因素,本文從載流子輸運角度分析接觸電阻.借鑒文獻[18]的思想,將接觸區域的載流子輸運過程也分為兩個過程,并基于朗道公式計算接觸電阻.在求解過程中,利用金屬與石墨烯的耦合、載流子的自由輸運以及石墨烯狄拉克費米子的反射系數可得兩個輸運過程的輸運概率,通過不同材料接觸時石墨烯的費米能級變化可計算出石墨烯的量子化導通模式數量,綜合上述結果可推出接觸電阻的計算公式.另外,本文還利用傳輸線模型設計了金屬電極與石墨烯接觸的測試樣品,并用四點法測量其接觸電阻,將實驗數據與理論結果對比分析以驗證理論結果的有效性.在此基礎上分析了影響金屬與石墨烯間接觸電阻的因素,并提出降低接觸電阻的措施.

2 基于朗道方法的接觸電阻推導

考慮金屬與石墨烯接觸的實際情況,假設載流子的輸運過程為如圖1所示的兩個步驟:

A)載流子從金屬電極轉移到其正下方的石墨烯;

B)載流子從金屬電極正下方的石墨烯轉移到鄰近的石墨烯.

金屬電極與石墨烯接觸時,載流子同時存在彈道輸運與擴散輸運,但以載流子的彈道輸運為主[18].利用朗道公式[19]表示金屬電極與石墨烯的接觸電阻為

其中,h為普朗克常數;e為電子電量;M為金屬下方的石墨烯中量子化導通模式的數量MA和鄰近的石墨烯中量子化導通模式的數量MB的最小值,M=min{MA,MB};TA,TB分別為過程A,B的載流子的輸運概率.(1)式中右側第一項對應過程A的電阻,第二項對應過程B的電阻,第三項為不考慮載流子反射造成的輸運引入的修正電阻.

圖1 金屬與石墨烯接觸的物理模型Fig.1.Physical model of the contact of metal and graphene.

2.1 傳輸概率TA,TB的分析

根據圖1中的坐標系,可將過程A的電壓V、電流I的關系表示為

利用指數形式表示如圖2所示的過程B中每一點費米能級的變化為

其中,?EA為金屬電極正下方石墨烯的費米能量和狄拉克點的能量差,?EB為鄰近石墨烯的費米能量和狄拉克點的能量差,L為過程B中費米能量變化區域的長度.過程B的輸運概率TB可表示為[21]

式中,κmn=kB?kA+mkBx+nkAx(m,n=±1);其中,kAx,kBx分別為金屬正下方石墨烯費米波矢kFA、鄰近石墨烯費米波矢kFB的縱向分量;費米波矢縱向分量與橫向分量的關系為sgn為符號函數,其正、負分別表示石墨烯的p摻雜和n摻雜.

圖2 利用指數形式表征過程B中石墨烯的能量變化Fig.2.Energy change of graphene in process B characterized by exponential form.

2.2 石墨烯中量子化導通模式數量MA,MB的分析

石墨烯量子化導通模式數量M可利用石墨烯寬度W、石墨烯費米能級的變化?E等表示為M=W?E/(πVF),因此對M的求解可通過求解?E來實現.參考文獻[14]中石墨烯與金屬表面勢能變化示意圖,可做出與圖1所示模型對應的金屬-石墨烯-二氧化硅-硅的能帶變化示意圖,如圖3所示.圖中WM表示金屬的功函數,WG表示石墨烯的功函數,WSi表示硅的功函數,?MG為金屬與石墨烯接觸表面的勢能變化,?O為二氧化硅中的勢能變化,V為施加的漏源電壓,Vg為施加的柵極電壓,deq為金屬與石墨烯費米能級平衡時的距離.

根據圖3,WM,WG可分別表示為

式中,?MG為金屬與石墨烯接觸造成的表面勢能變化,其由載流子在接觸區域表面移動造成的勢能變化?t和表面電子、空穴的化學反應造成的化學能變化?c兩部分組成.當金屬與石墨烯原子之間的距離超過4 nm,?c通常可忽略[14].根據整個物理模型呈電中性,有

式中,QM為金屬所帶電量其中,C1為單位面積的金屬與石墨烯之間的電容ε0/d1,d1為金屬與石墨烯之間的距離;QG為石墨烯所帶電量,為硅所帶電量,可利用計算,其中,C2為單位面積的石墨烯與硅之間的電容ε/d2,d2為SiO2層的厚度,ε為SiO2的介電常數.

聯立求解(7)—(9)式,?EA可表示為

其中,VDirac表示實現?EA=0的柵極電壓.

利用與分析?EA類似的方法,令d1→∞,WM=0,可將?EB表示為

圖3 金屬-石墨烯-二氧化硅-硅的能帶變化示意圖Fig.3.Schematic illustration of band change of metalgraphene-SiO2-Si.

3 接觸電阻實測結果與影響因素分析

利用第2節的理論計算了金、銀、銅、鈦、鈀5種常見金屬電極與石墨烯接觸時的接觸電阻.表1列出了5種金屬材料的電學參數以及假設TA=0.75,TB=1,柵極電壓為0時的接觸電阻值.

文獻[18]通過實驗測得柵極電壓為0時,鈀金屬電極與石墨烯間的接觸電阻為(230±20)?·μm,表1的理論分析結果為210 ?·μm,兩者較接近.為進一步驗證本文所提的接觸電阻的分析方法,基于傳輸線模型制作金屬與石墨烯接觸樣品,并采用四點法測量樣品的接觸電阻.如圖4所示,利用探針在金屬電極兩端通正向電流并測電壓得到正向電阻,通反向電流并測電壓得到反向電阻,取它們的平均值為樣品的電阻.其中,測試探針由奕葉國際有限公司提供,電流源的型號為KEYSIGHT B2961A,電壓測量儀的型號為RIGOL DM3068.

表1 金屬的電學參數Table 1.Electrical parameters for different metal electrodes.

圖4 金屬與石墨烯的接觸樣品及接觸電阻測量方法示意圖Fig.4.Test sample of metal-graphene contact and the schematic diagram on the measurement method of contact resistance.

圖5 樣品總電阻隨石墨烯長度的變化Fig.5. Variations of the total resistance with the lengths of the graphene.

實驗樣品兩金屬電極之間的石墨烯長度分別為2,4,6,8,10μm,分別在電極兩端通入10,20,40,60,80μA的電流,測量兩金屬電極間的電壓值.根據測量數據可得測試樣品總電阻變化趨勢如圖5所示,根據傳輸線模型原理,石墨烯長度為0時的總電阻為(160±30)?.樣品的電極寬度為4μm,考慮到所測結果是兩個金屬電極與石墨烯接觸,則接觸電阻為(320±60)?·μm,這與表2中金與石墨烯的接觸電阻的理論計算值相近.

(1)式中金屬與石墨烯間接觸電阻僅存在量子化導通模式的數量M、過程A的輸運概率TA、過程B的輸運概率TB,而M又與?E有關.根據(10)和(11)式可知,金屬的功函數、金屬與石墨烯的距離、石墨烯與柵極之間的絕緣層厚度、石墨烯摻雜濃度、柵極電壓均會對?E造成影響.顯然,石墨烯的摻雜濃度越高,接觸電阻越小.圖6為不同金屬與石墨烯在平衡距離時,接觸電阻與柵極電壓的關系.圖中接觸電阻總是關于某一柵極電壓左右對稱分布,并在該電壓處趨于無窮,這是由于此處金屬與石墨烯之間無勢能差異,即?E=0.石墨烯的功函數、金屬的功函數以及金屬與石墨烯接觸的化學勢能變化的差值決定了曲線對稱處柵極電壓的大小.由于不同金屬與石墨烯接觸的化學勢能變化差異較小,選擇柵極電壓在狄拉克點電壓附近時,金屬功函數與石墨烯功函數差異越小,接觸電阻越小.圖6中,對稱處的接觸電阻從小到大對應的金屬分別為鈦、銀、銅、金、鈀,這與各金屬的功函數和石墨烯功函數(本文取其為4.5 eV)的差異有關.

圖7(a)是金屬電極為鈀,d1=0,d2為100,200,300 nm時,接觸電阻與柵極電壓的關系.由圖7(a)可知,曲線的對稱中心均為Vg?VDirac=0,d2越大,接觸電阻值越大.圖7(b)是金屬電極為鈀,d2=90 nm,d1為0.1,0.2,0.3 nm時接觸電阻與柵極電壓的關系曲線,金屬與石墨烯距離越大,曲線的對稱中心對應的柵極電壓越小,接觸電阻變化越快.當(Vg?VDirac)的變化范圍為0—20 V時,金屬與石墨烯距離越大,接觸電阻越大.

圖6 不同材料金屬電極下RC與柵極電壓Vg的關系Fig.6.Relationship between RCand gate voltage Vg with different metal electrodes.

圖7 接觸電阻與柵極電壓的關系 (a)改變二氧化硅的厚度d2;(b)改變金屬與石墨烯的距離d1Fig.7.Relationship between RCand gate voltage:(a)Variations of the thickness d2of SiO2;(b)variations of the distance d1between metal and graphene.

由(4)式可知,λ和λm影響TA,λ與弛豫時間成正比,λm與金屬-石墨烯耦合力成反比,λ/λm越小,TA越大,則接觸電阻越小.若只考慮TB對接觸電阻的影響,由(6)式可知,載流子在石墨烯中的入射角度、?E發生改變的長度L等因素均會影響TB.通常入射角度越大,L越短,接觸電阻越小.

4 結 論

本文基于朗道公式推導了金屬電極與石墨烯的接觸電阻,利用傳輸線模型制作了金屬與石墨烯接觸的實驗樣品,通過對比接觸電阻的理論計算值和實測值驗證了理論推導的正確性.理論分析結果表明,為降低金屬與石墨烯的接觸電阻,可從以下兩方面入手.

1)提高石墨烯量子化導通模式數量:選擇功函數與石墨烯接近的金屬材料;降低二氧化硅層的厚度,使柵極電壓變化范圍一定時量子化導通模式數量變化范圍更大;增加金屬下方石墨烯和溝道石墨烯之間的載流子濃度差.

2)提高載流子傳輸概率:提高石墨烯材料遷移率,增加載流子平均自由程,改進金屬材料的表面形態,減小金屬與石墨烯耦合長度.