前緣曲率對三維邊界層內被激發出非定常橫流模態的影響研究?

陸昌根 沈露予

(南京信息工程大學海洋科學學院,南京 210044)(2018年7月11日收到;2018年7月29日收到修改稿)

三維邊界層感受性問題是三維邊界層層流向湍流轉捩的初始階段,是實現三維邊界層轉捩預測與控制的關鍵環節.在高湍流度的環境下,非定常橫流模態的失穩是導致三維邊界層流動轉捩的主要原因;但是,前緣曲率對三維邊界層感受性機制作用的研究也是十分重要的課題之一.因此,本文采用直接數值模擬方法研究在自由來流湍流作用下具有不同橢圓形前緣三維(后掠翼平板)邊界層內被激發出非定常橫流模態的感受性機制;揭示不同橢圓形前緣曲率對三維邊界層內被激發出非定常橫流模態的擾動波波包傳播速度、傳播方向、分布規律、感受性系數以及分別提取獲得一組擾動波的幅值、色散關系和增長率等關鍵因素的影響;建立在不同橢圓形前緣曲率情況下,三維邊界層內被激發出非定常橫流模態的感受性問題與自由來流湍流的強度和運動方向變化之間的內在聯系;詳細分析了不同強度各向異性的自由來流湍流在激發三維邊界層感受性機制的物理過程中起著何種作用等.通過上述研究將有益于拓展和完善流動穩定性理論,為三維邊界層內層流向湍流轉捩的預測與控制提供依據.

1 引 言

三維邊界層內層流向湍流轉捩的預測與控制一直是流體力學的前沿熱點課題之一.邊界層感受性問題是轉捩過程的初始階段,是實現邊界層流動轉捩預測與控制的關鍵過程.早期感受性問題的研究主要集中在二維邊界層感受性問題,然而大多數工程實際問題都屬于三維邊界層流動,比如飛行器的后掠機翼表面、帶攻角的圓錐以及流體葉片機械等.因此,三維邊界層感受性問題的研究有著更加重要的理論意義[1].

通過風洞實驗[2]發現,在低湍流度情況下,定常橫流模態主導著三維邊界層流動的轉捩過程;在高湍流度情況下,非定常橫流模態在三維邊界層流動的轉捩過程中占據絕對的主導作用.另外,風洞實驗還發現,自由來流湍流是激發三維邊界層內產生非定常橫流模態的主要原因,而自由來流中的聲波擾動在三維邊界層內被激發出非定常橫流模態的作用是十分微弱的,可以忽略不計.

早期的三維邊界層感受性研究多數都集中在定常橫流模態占主導的感受性過程,比如,Radeztsky等[3],Deyhle和Bippes[4],Reibert和Saric[5],Kurz和Kloker[6]分別研究了壁面局部粗糙的幾何形狀、大小和位置等因素對三維邊界層感受性機制的影響;Betrolotti[7]以及Collis和Lele[8]研究了非平行性對三維邊界層感受性機制的作用.直到最近,人們才開展渦擾動、自由來流湍流作用下三維邊界層感受性問題的數值和實驗研究.例如,Schrader等[9,10]采用直接數值模擬方法研究了自由來流渦擾動作用下三維邊界層內被激發產生非定常橫流模態的感受性過程.Tempelmann等[11,12]通過直接數值模擬方法和拋物化穩定方程法求解線性不可壓Navier-Stokes方程,詳細研究光滑后掠翼邊界層內被激發產生非定常橫流模態的感受性問題.Borodulin等[13]實驗研究了自由來流渦擾動和壁面局部粗糙作用下三維邊界層內被激發出非定常橫流模態的感受性過程.本課題組近年來也開展了三維邊界層內被激發出橫流模態的感受性問題的相關研究[14,15],獲得了一些有意義的結果.但是以上研究都忽略了平板前緣曲率變化對三維邊界層感受性問題的作用.Lin和Malik[16]以及文獻[17]的研究可知,前緣頂端曲率變化對二維邊界層感受性過程有著顯著的影響和作用.因此,開展不同前緣頂端曲率變化對三維邊界層內被激發出非定常橫流模態的感受性機制的作用研究具有重要的理論意義和實際應用價值.

2 控制方程和數值方法

2.1 控制方程

為便于研究,選取橢圓形前緣后掠翼平板為物理模型,并以橢圓形前緣的短軸長度b為特征長度、無窮遠來流速度U∞為特征速度以及流體密度ρ為特征密度,可獲得三維、無量綱不可壓縮Navier-Stokes方程:

其中,速度為V=U+V′,V′={u,v,w}T為擾動速度,U={U,V,W}T為數值求解Navier-Stokes方程獲得橢圓形前緣后掠翼平板邊界層基本流;p為壓力;雷諾數Re=(U∞b)/υ,且υ為流體的運動黏性系數.通過雅克比行列式變換將曲線坐標系(x,y,z) 化為直角坐標系(ξ,η,ζ)問題進行數值計算[18].控制方程的離散方法為:時間偏導數采用四階修正后的Runge-Kutta格式;空間偏導數在x和y方向上采用緊致有限差分格式,即對流項為五階精度迎風緊致有限差分格式,壓力梯度項為六階精度緊致有限差分,在z向采用傅里葉級數展開;黏性項為六階精度緊致有限差分格式;壓力方程利用四階精度的有限差分格式迭代求解[19].

2.2 自由來流湍流模型

自由來流中的擾動主要有以下形式:聲波擾動、渦波擾動以及自由來流湍流.聲波擾動以壓力脈動的形式來激發感受性機制,渦波擾動以單波擾動的形式來激發感受性過程以及自由來流湍流是以一群渦波擾動來激發感受性的物理現象.在自然界和工程技術實踐中,自由來流湍流是普遍存在的;通過構造一組單波擾動組成的波群來模擬自由來流湍流模型,使研究課題更加接近于真實的物理問題.本文依據文獻[20]的思想,構建各向異性的軸對稱自由來流湍流模型,表達式為

其中,

且

其中,Cd為軸對稱的自由來流湍流的壓縮系數;kxo,kyo和kzo是各向同性湍流的波數,ko=當壓縮系數Cd=1時,自由來流湍流模型為各向同性湍流;而壓縮系數Cd=1時,自由來流湍流模型為各向異性湍流.

2.3 計算區域和網格生成

圖1為研究具有不同橢圓形前緣后掠翼平板邊界層內被激發產生的非定常橫流模態的感受性過程計算區域,其中,a為橢圓形前緣長軸,b為橢圓形前緣短軸;相對應的橢圓形前緣頂端曲率半徑R?=b2/a以及采用特征長度b無量綱化后的前緣頂端曲率半徑R=b/a,則無量綱的前緣頂端曲率K=1/R;流向區域x∈[?50,600],且平板前緣的流向位置位于x=0;法向區域y∈[?11,11],展向區域z∈[?Z/2,Z/2],展向寬度Z=2π/κ3,后掠角ΦBS為無窮遠來流U∞方向與x軸之間的夾角,本文選取后掠角ΦBS=45?;雷諾數選為Re=2400;并采用泊松方程(3)[18]生成橢圓形前緣后掠翼平板在xoy平面上的貼體網格,z方向上則采用均勻網格.

圖1 計算區域示意圖Fig.1.Computational domain.

(3)式是通過源項函數P和Q控制網格在壁面處保持正交,并在平板前緣駐點以及壁面附近加密網格,以確保數值計算的準確性,計算網格數為800×200×16.

2.4 邊界條件

壁面邊界條件:壁面上采用無滑移條件,即擾動速度u=v=w=0,法向壓力梯度?p/?n=0.

無窮遠邊界條件:擾動速度有自由來流湍流模型(2)式給出;壓力p=0.

出流邊界條件:壓力梯度?p/?x=0;擾動速度采用無反射條件.

展向采用周期性邊界條件.

3 數值結果與分析

本文研究在自由來流湍流作用下具有不同橢圓形前緣后掠翼平板邊界層內被激發非定常橫流模態的感受性過程,并通過流動穩定性理論證明在自由來流湍流作用下激發具有不同橢圓形前緣后掠翼平板邊界層內被誘導非定常橫流模態的感受性機制是真實存在的,具體過程與文獻[15]相同,不再贅述.

本文重點關注的是不同橢圓形前緣頂端曲率變化對三維(后掠翼平板)邊界層內被激發出非定常橫流模態的感受性過程的作用;揭示具有不同橢圓形前緣頂端曲率情況下后掠翼平板(三維)邊界層內被激發出非定常橫流模態的感受性問題與自由來流湍流度、運動方向以及各向異性自由來流湍流等關鍵因素的影響.為方便比較,定義無量綱頻率F=2πfυ/U2∞×106;數值計算發現,當y>6時邊界層外緣的擾動速度均方根值,經長時間(t>500)計算趨于穩定值;定義邊界層外緣的擾動速度均方根穩定值為自由來流湍流度AFST,其表達式為

首先,研究各向同性自由來流湍流作用下具有不同橢圓形前緣三維(后掠翼平板)邊界層感受性機制;選取壓縮系數Cd=1,流向基本波數κ1=0.036,最大模數M=8,法向波數κy=0.01,展向波數κz=0.24.

圖2給出了自由來流湍流作用下激發具有不同前緣頂點曲率情況的三維(后掠翼平板)邊界層內產生非定常橫流模態的流向擾動速度波包結構沿傳播方向S的演化規律,波包傳播方向與x軸之間的夾角為θg.由圖2可知,當橢圓形前緣頂端曲率較小時,三維邊界層內被激發出非定常橫流模態的流向擾動速度波包的最大幅值沿傳播方向S的演化趨勢,要明顯大于橢圓形前緣頂端曲率較大時三維邊界層內被激發出非定常橫流模態的流向擾動速度波包的最大幅值沿傳播方向S的演化;但是,具有不同橢圓形前緣頂端曲率情況下,三維(后掠翼平板)邊界層內被激發出非定常橫流模態的流向擾動速度波包沿傳播方向S的空間演化規律具有完全的相似性和對稱性,且相位相同.

圖2 在不同前緣曲率情況下三維(后掠翼平板)邊界層內被激發出非定常橫流模態的流向擾動速度波包沿傳播方向S的演化 (a)K=4;(b)K=20;(c)K=40Fig.2.S-direction evolution of streamwise perturbation velocity wave packets of the excited unsteady cross- flow vortices in the three-dimensional(sweptplate)boundary layer with different leading-edge curvatures:(a)K=4;(b)K=20;(c)K=40.

跟蹤記錄不同時刻具有不同橢圓形前緣頂端曲率情況下三維邊界層內被激發出非定常橫流模態的流向擾動速度波包結構所有的最大值、最小值以及零點的位置,近似計算獲得波包沿傳播方向S的平均群速度以及波包傳播方向S與流向x方向之間的夾角為θg,結果如表1所列.從表1可知,在不同橢圓形前緣頂端曲率情況下,三維邊界層內被激發出非定常橫流模態的擾動波波包傳播方向以及傳播的平均群速度幾乎保持不變,它們之間的最大相對誤差均小于1%.

表1 三維邊界層內被激發出的非定常橫流擾動波波包傳播方向和平均群速度Table 1.Propagation direction and average group speed of the excited unsteady cross- flow vortices in the threedimensional boundary layer.

數值計算了在不同前緣頂端曲率情況下三維邊界層內被激發出非定常橫流模態的感受性系數Λ.感受性系數Λ為三維邊界層內被感受出非定常橫流模態的擾動波波包的最大初始幅值ACF與自由來流湍流度AFST之比,數學表達式為

圖3顯示,當前緣頂端曲率K>2時,隨著橢圓形前緣頂點曲率的不斷增大,橢圓形前緣三維邊界層內被激發出非定常橫流模態的感受性系數Λ將快速衰減,直至衰減到某一閾值(K=25)后無論前緣頂端曲率如何增大,三維邊界層內被激發出非定常橫流模態的感受性系數Λ幾乎趨于平緩狀態.

其次,釆用時間傅里葉分析的方法,從圖2中分別提取獲得一組不同頻率的非定常橫流模態的擾動波.圖4給出了在前緣頂端曲率K分別為4,20和40的情況下,三維邊界層內被激發出的具有典型性兩種頻率的非定常橫流模態的擾動波流向擾動速度沿傳播方向S的演化過程.圖4顯示,無論橢圓形前緣頂端曲率如何變化,三維邊界層內被激發出的具有典型性兩種頻率的非定常橫流模態的擾動波流向擾動速度沿傳播方向S的分布結構完全相似,且相位相同;惟一的區別是三維邊界層內被激發出的非定常橫流模態的擾動波流向擾動速度的幅值不同.即橢圓形前緣頂端曲率較小時三維邊界層內被激發出的非定常橫流模態的流向擾動速度的幅值要明顯大于橢圓形前緣頂端曲率較大時三維邊界層內被激發出的非定常橫流模態的流向擾動速度的幅值.

依據圖4具有不同橢圓形前緣三維(后掠翼平板)邊界層內被激發出非定常橫流模態的流向擾動速度沿傳播方向S的演化規律,可以近似計算相鄰波峰與波峰和波谷與波谷之間的幅值之比,并分別取對數后被波峰與波峰和波谷與波谷之間的距離相除后再取平均獲得增長率,則近似求得具有不同橢圓形前緣三維邊界層內被激發出非定常橫流模態的擾動波的增長率沿傳播方向S的演化,如圖5所示.由圖5可知,無論是橢圓形前緣頂端曲率如何變化,三維邊界層內被激發出非定常橫流模態的擾動波的增長率沿傳播方向S的演化規律幾乎保持不變,它們之間產生的最大相對誤差約為1%.

圖3 三維邊界層內被激發出非定常橫流模態的感受性系數Λ與前緣頂端曲率K之間的關系Fig.3.Relation between leading-edge curvature K and receptivity coefficient Λ of the excited unsteady cross- flow vortices in the three-dimensional boundary layer.

圖4 三維邊界層內被激發出的非定常橫流模態的流向擾動速度沿傳播方向S的演化 (a)F=30;(b)F=60Fig.4.S-direction evolutions of streamwise perturbation velocities of excited unsteady cross- flow vortices in the three-dimensional boundary layer:(a)F=30;(b)F=60.

圖5 三維邊界層內被激發出的非定常橫流擾動模態的增長率(?αi)在傳播方向S 的演化 (a)F=30;(b)F=60Fig.5.S-direction evolutions of growth rates(?αi)of the excited unsteady cross- flow vortices in the threedimensional boundary layer:(a)F=30;(b)F=60.

再依據圖4還可以求得三維邊界層內被激發產生的非定常橫流模態的擾動波的平均流向波數(或波長)以及沿流向傳播的平均相速度,結果詳見表2和表3.表2和表3分別列出了不同前緣頂端曲率情況下,三維邊界層內被激發產生的不同頻率非定常橫流模態的擾動波的平均流向波數和平均相速度,結果發現無論是橢圓形前緣頂端曲率如何變化,三維邊界層內被激發出非定常橫流模態的所有擾動波的平均流向波數和平均相速度幾乎保持不變,它們之間產生的最大相對誤差為1%.

另外,同樣在自由來流湍流作用下和在流向基本波數κ1=0.036以及最大模數M=8不變的基礎上,數值研究除了法向波數κy=0.01和展向波數κz=0.24之外的其他不同的法向波數和展向波數情況下具有不同橢圓形前緣三維(后掠翼平板)邊界層感受性機制,獲得的結論與上述結論完全相同.

表2 具有不同橢圓形前緣頂端曲率情況下三維邊界層內被激發出的非定常橫流擾動波的平均流向波數Table 2.Average streamwise wave numbers of excited unsteady cross- flow vortices in the three-dimensional boundary layer with different leading-edge curvatures.

表3 具有不同橢圓形前緣頂端曲率情況下三維邊界層內被激發出的非定常橫流擾動波的平均相速度Table 3.Average phase speeds of excited unsteady cross flow vortices in the three-dimensional boundary layer with different leading-edge curvatures.

最后,研究自由來流湍流的強度和運動方向對三維邊界層感受性問題的作用,并選取自由來流湍流基本波數κ1=0.036、法向波數κy=0.01、展向波數κz=0.24.

圖6給出了在不同前緣頂端曲率情況下,三維邊界層內被激發出的非定常橫流模態的擾動波波包的最大初始幅值ACF與施加的自由來流湍流度AFST之間的關系(在圖6中被感受出的非定常橫流模態的擾動波波包的最大初始幅值ACF已被自由來流湍流度AFST=0.1%時被激發的非定常橫流模態的擾動波波包的最大初始幅值A0歸一化).從圖6可知,無論是橢圓形前緣頂端曲率如何變化,當自由來流湍流度AFST61.0%時,三維邊界層內被激發產生的非定常橫流模態的擾動波波包的最大初始幅值與自由來流湍流度之間成線性增長規律.

圖6 具有不同橢圓形前緣三維邊界層內被激發出非定常橫流模態的擾動波波包的最大初始幅值與自由來流湍流度AFST之間的關系Fig.6.Relation between free-stream turbulence intensity AFSTand initial amplitudes of excited unsteady cross- flow vortices in the three-dimensional boundary layer with different leading-edge curvatures.

由于真實的湍流運動一股都具有隨機性和不確定性,因此,深入研究自由來流湍流運動方向對具有橢圓形前緣三維(后掠翼平板)邊界層感受性問題的作用是很有意義的.在這里,仍選取自由來流湍流度AFST=0.1%保持不變,然后,通過分別改變自由來流湍流的流向波數、法向波數以及展向波數來改變自由來流湍流的運動方向,探討自由來流湍流的運動方向對三維邊界層感受性問題的作用和影響.為便于分析,自由來流湍流的運動方向采用圖7所示的緯度角φ和經度角θ來表示.

在自由來流湍流的流向基本波數κ1=0.036和展向波數κz=0.24不變的情況下,通過改變法向波數κy來研究自由來流湍流的緯度角φ變化對三維邊界層感受性問題的作用.圖8給出了三維邊界層內被激發出的非定常橫流模態的感受性系數Λ與緯度角φ之間的關系.由圖8可知,隨著緯度角φ的不斷增大,三維邊界層內被激發出的非定常橫流模態的感受性系數Λ將快速增長,直至緯度角φ約為?20?時,感受性系數Λ達到最大值,隨后當緯度角φ繼續增大時感受性系數Λ將趨于較快的衰減過程.另外,從圖8還發現無論緯度角φ如何變化,當橢圓形前緣頂端曲率越小時,三維邊界層內被激發出的非定常橫流模態的感受性能力就越強.

圖7 三維角度示意圖Fig.7.Three-dimensional angles.

圖8 具有不同橢圓形前緣三維邊界層內被激發出非定常橫流模態的感受性系數Λ與緯度角φ之間的關系Fig.8.Relation between angle φ and receptivity coefficient Λ of excited unsteady cross- flow vortices in the three-dimensional boundary layer with different leading-edge curvatures.

在自由來流湍流流向基本波數κ1=0.025和法向波數κy=0.01不變的情況下,通過改變展向波數κz來研究自由來流湍流的經度角θ改變對三維邊界層內被激發出非定常橫流模態的感受性影響.由圖9可知,當經度角θ630?時,三維邊界層內被激發出的非定常橫流模態的感受性系數Λ增長十分緩慢;但是,當經度角θ>30?后,三維邊界層內被激發出的非定常橫流模態的感受性系數Λ將快速增長.從圖9還可獲知,當橢圓形前緣頂端曲率越小時,三維邊界層內被激發出非定常橫流模態的感受性系數隨經度角θ的增長將更加顯著.

在工程實際中的自由來流湍流大多數都是各向異性的湍流,目前對各向異性湍流作用激發三維邊界層內產生非定常橫流模態的感受性機制研究的相關報道十分少見.因此,開拓各向異性的自由來流湍流作用激發三維邊界層感受性機制方面的理論研究是十分有意義的.為便于研究,僅考慮各向異性的軸對稱湍流.在這里通常改變軸對稱自由來流湍流的壓縮系數Cd來達到反映自由來流湍流的各向異性程度,當軸對稱自由來流湍流的壓縮系數Cd越大時,反映軸對稱自由來流湍流的各向異性程度就越強;反之,當軸對稱自由來流湍流的壓縮系數Cd越小時,反映軸對稱自由來流湍流的各向異性程度就越弱,也就越接近于壓縮系數Cd=1情況下的各向同性自由來流湍流.

圖9 具有不同橢圓形前緣三維平板邊界層內被激發出非定常橫流模態的感受性系數Λ與經度角θ之間的關系Fig.9.Relation between angle θ and receptivity coefficient Λ of excited unsteady cross- flow vortices in the three-dimensional boundary layer with different leading-edge curvatures.

本文選取自由來流湍流基本波數κ1o=0.036、法向波數κyo=0.01、展向波數κzo=0.24以及施加在外緣的自由來流湍流度AFST=0.1%.圖10給出了在具有不同橢圓形前緣頂端曲率情況下,三維邊界層內被激發出的非定常橫流模態的感受性系數Λ與壓縮系數Cd之間的聯系.由圖10可知,隨著壓縮系數Cd的不斷增大,具有不同橢圓形前緣三維(后掠翼平板)邊界層內被激發產生的非定常橫流模態的感受性系數Λ也將快速增大,其原因可能是自由來流湍流的各向異性程度越劇烈,三維邊界層內就越容易被激發出更強的感受性機制.另外,當橢圓形前緣頂端曲率越小時,三維邊界層內被激發出非定常橫流模態的感受性系數隨壓縮系數Cd的增長將更加顯著.

圖10 具有不同橢圓形前緣三維邊界層內被激發出非定常橫流模態的感受性系數Λ與壓縮系數Cd之間的聯系Fig.10.Relation between contraction ratio Cdand receptivity coefficient Λ of excited unsteady cross- flow vortices in the three-dimensional boundary layer with different leading-edge curvatures.

4 結 論

研究了前緣曲率對三維邊界層內被激發出的非定常橫流模態的作用,獲得了如下結論.

1)在自由來流湍流作用下,無論是后掠翼平板前緣頂端曲率如何變化,三維邊界層內都能被激發出非定常橫流模態的感受性過程.當橢圓形前緣頂端曲率逐漸增大時,三維邊界層內被激發出的非定常橫流模態的感受性系數將快速衰減,直至前緣頂端曲率K約大于25后三維邊界層內被激發出的非定常橫流模態的感受性系數將趨于平穩狀態;其次,無論后掠翼平板前緣頂端曲率大小是多少,三維邊界層內被激發出的非定常橫流模態的擾動波波包向下游傳播群速度和傳播方向完全相同以及波包沿傳播方向上的空間演化結構具有完全的對稱性和相似性,且相位相同;惟一區別是波包在空間分布的幅值大小不同而已.

2)通過時間傅里葉變換分析方法,從具有不同橢圓形前緣三維(后掠翼平板)邊界層內被激發出非定常橫流模態的擾動波波包中提取獲得了一組不同頻率擾動波.結果發現:無論是橢圓形前緣頂端曲率如何變化,三維(后掠翼平板)邊界層內被激發出的一組不同頻率擾動波的增長率、色散關系和相速度幾乎保持不變;當橢圓形前緣頂端曲率越小時,三維邊界層內被激發出的不同頻率擾動波的幅值就越大;反之,當橢圓形前緣頂端曲率越大時,三維邊界層內被激發出的不同頻率擾動波的幅值就越小;也就是說橢圓形前緣非平行性影響越強,三維邊界層內被激發出的非定常橫流模態的感受性能力就越強;反之,橢圓形前緣非平行性影響越弱,三維邊界層內被激發出的非定常橫流模態的感受性能力就越弱.

3)自由來流湍流度與三維邊界層內被激發產生的非定常橫流模態的擾動波波包的最大初始幅值之間成線性增長關系.當自由來流湍流運動方向的緯度角不斷增大時,三維邊界層內被激發出的非定常橫流模態的感受性系數將逐漸增長;直至當緯度角φ約為?20?時,感受性系數達到最大值;當緯度角繼續增大時,感受性系數開始趨于衰減狀態.當自由來流湍流運動方向的經度角不斷增大時,三維邊界層內被激發出的非定常橫流模態的感受性系數一開始增長得十分緩慢,直至經度角大于30?后三維邊界層內被激發出的非定常橫流模態的感受性系數將快速增長.

4)不同自由來流湍流的各向異性程度對三維邊界層感受性問題的作用研究發現:自由來流湍流的各向異性程度越劇烈,三維邊界層內被激發產生的感受性能力就越強;反之,自由來流湍流的各向異性程度越弱,三維邊界層內被激發產生的感受性能力就越弱.

5)數值計算結果還揭示出同一結論:在自由來流湍流作用下,當橢圓形前緣頂端曲率越小時,三維(后掠翼平板)邊界層內就越容易被感受出非定常橫流模態;反之,當橢圓形前緣頂端曲率越大時,三維(后掠翼平板)邊界層內就越難以被感受出非定常橫流模態.