高中數學排列組合解題方法與技巧研究

江西省贛州市贛縣中學北校區 王子慧

一、認真區分排列與組合，提高解題正確率

排列與組合，學生經常把兩組概念弄混，學生如果對兩組概念沒有清晰的認知，當面對題目時就會出現錯誤。教師教學時要對兩組概念進行詳細的分析，讓學生清晰地知道，排列是有順序的排列，而組合是無順序的組合。讓學生不僅對概念有了清晰的認識，在解題時也可以正確運用。教師可以從一道題目，引導學生認識到自己是否對兩組概念有了清晰的認知。例如：將完全相同的4個紅帽子和6個黑帽子排成一排，共有多少種不同的排法？學生思考這道題目時，如果沒有經過充分的思考，就會認為將10個相同的帽子進行排序。此道題目核心的一點是完全相同的4個紅帽子和6個相同的黑帽子，顏色相同的帽子即使位置發生了變化，排法仍舊是一樣的。學生面對這道題目，正確的分析方法是10個帽子對應10個位置，我們將4個紅帽子的位置先確定下來，那么剩下6個位置，就是黑色帽子的，4個紅色帽子也是相同的，這也是屬于組合的問題。接下來對問題進行分析就清晰明了。

所以在教學中，教師要引導學生多思考，對問題進行不同角度的解析，讓學生再面對此類問題時可以觸類旁通，輕而易舉地解決問題。

二、引導學生掌握常用的基本解題方法

1．插空法

插空法是排列組合題目中常用的方法，是指題目中要求某些元素不相鄰，使用其他元素隔開，先將其他元素進行排序，然后將抽離的元素插到其他元素的空隙及兩端內。插空法經常用在解決“教師學生座位”的問題中。例如：學校組織老師和學生一起看電影。同一排電影票有11名7名學生和4名教師。教師必須是學生中的一員，而教師并不相鄰。那有幾種不同的坐的方式？一排有一定數量的學生，然后將老師插入學生之間的差距，有4個缺口需要插入。兩個或兩個以上元素不相鄰的問題，可以使用插入方法，先排列沒有限制的元素，然后根據需要插入具有限制的元素。對問題進行思考后，得知7名學生之間的空隙共有8個位置，將4名教師插進去，共有 種。教師在教學中多灌輸插空法，幫助學生可以靈活使用此方法。

2．特殊優先法

特殊優先法是對有限制條件的特殊元素，我們優先對它們進行考慮，這種方法在“小球排列”問題中較為常見。例如：桌面上有12個小球，白顏色的小球有1個，紅顏色小球5個，藍顏色小球6個，排列的要求是相同顏色的小球必須排在一起，且白球不能在兩端。請問有多少種排列的方法？對于這類題目，我們思考的角度是將三個不同顏色的小球看作一個整體，此題目中白球不能在兩端是限制條件，所以我們優先對小白球考慮，其他的小球各自全排列即可。

3．捆綁法

捆綁法是指當幾個元素相鄰時，我們可以將這幾個元素作為一個整體，在題目中進行排列。例如：教室里有7把椅子，椅子并排成一列，對椅子按照順序進行標號，標號順序為：a，b，c，d，e，f，g，對7把椅子進行排序，要求a，b椅子總在一起，請問一共有多少排序方法？題目中a，b椅子必須在一起，我們這時候可以使用捆綁法，將a，b椅子看作一個整體，其余的5把椅子進行全排列，a，b兩把椅子的排列順序有2個，兩者相乘即可解決此問題。

在實際教學中，這三種方法是常常用到的，題目中常常需要三種方法相互使用，所以教師一定要教導學生靈活運用。

三、引導學生進行實際操作，激發學生學習排列組合的興趣

很多教師在進行排列組合的教學時，只是一味枯燥地講解或者給學生留很多習題作業，這些教學方法不能激發學生對知識的興趣。另外，排列組合的題目因為涉及很強的邏輯性，學生有時就是無法理解其中的關鍵步驟，對排列組合知識產生畏難心。排列組合題目雖然抽象，但很多題目來源于生活的現實問題，設計排列組合的游戲是一個非常好的方法，教師可以組織學生參與排列組合的游戲中，例如：有4把1～4號椅子，有四個同學也按照1～4號進行編號，要求兩個同學選兩把椅子坐，同學編號必須與凳子的標號相同。請問共有多少排列的方式？教師指導學生參與游戲，學生在參與的過程中，可以將看不見、摸不著的邏輯思維外化在游戲中。這樣化解了排列組合的教學難點，學生可以很清晰地理解排列組合的數學思維。

總之，排列組合問題既考查了學生數學邏輯思維的能力，也考查了學生解決現實生活中的問題的能力。教師在進行排列組合教學時，一定要多結合現實生活進行講解，讓學生可以使用多種方法理解題目蘊含的數學思想，選擇合適的數學方法，準確地解決現實生活遇到的問題。