巧借集合運算理解簡易邏輯

吉林省實驗中學 王 磊 施麗娜

數學教育作為教育的組成部分，在發展和完善人的教育活動中、在形成人們認識世界的態度和思想方法方面、在推動社會進步和發展的進程中起著重要的作用。在現代社會中，數學教育是終身教育的重要方面，它是公民進一步深造的基礎，是終身發展的需要。數學在形成人類理性思維和促進個人智力發展的過程中發揮著獨特的、不可替代的作用，數學的基礎教學任重道遠。

普通高中數學課程標準指出：正確地使用邏輯用語是現代公民應具備的基本素質，無論是進行思考、交流還是從事各項工作，都需要正確使用邏輯用語來準確表達自己的思維。那么在實際教學中，怎樣幫助學生更好地學習和理解這部分內容，值得一線教師去思考。經過課堂實踐教學經驗表明，將學生熟悉的集合關系和集合運算與邏輯部分對照教學，可以取得意想不到的學習效果。現分以下幾種情況進行闡述：

一、“集合的包含關系”與“互為逆否命題的兩個命題同真同假”的對照教學

對“互為逆否命題的兩個命題同真同假”的理解是學生在簡易邏輯部分學習中遇到的第一個難點。雖然我們可以通過對多個命題的分析，引導學生發現規律，但是總會給學生帶來以點帶面的遺憾。借助集合間的包含關系說明這一問題，則使學生理解起來簡單明了。

若原命題“若p則q”為真，即研究對象只要具備條件p，則其必定滿足結論q。我們不妨設P={x|x滿足條件p}，Q={x|x滿足條件q}，則命題“若p則q”為真可以理解為 ,則必有x∈Q成立，即 。研究逆否命題“若 則 ”，即研究對象不具備條件q，則一定不滿足結論P。從集合角度理解，其含義為如果元素 ,則

。由于原命題為真，表示P是Q的子集，集合Q包含集合P，故此元素不屬于集合Q，則其不屬于集合P一定成立，于是原命題的逆否命題為真。若原命題為假，集合P和集合Q不存在包含關系，那么元素不屬于集合Q，推不出該元素不屬于集合P，其逆否命題為假。

二、“集合的包含關系”與“充分條件、必要條件”的對照教學

定義指出：“若p則q”為真命題，是指由p通過推理可以得到q，我們說，由p可推出q，并且說p是q的充分條件，q是p的必要條件。為什么對q而言，p是充分的？為什么對p而言，q是必要的？

從前面的分析和設定可以知道，“若p則q”為真，可視為P是Q的子集。例如設集合P={x|x＞1}, 集合Q={x|x＞0},，那么x∈P，即 x ＞1的條件滿足充分保證了x＞0，即x∈Q的成立，p的出現充分保證了q的成立；當x＞0時，未必有x＞1，但x如果都不能大于0，則它不可能大于1，故對于x∈p來說，x∈q是必要的。這樣看來，“充分條件和必要條件”的稱謂實至名歸。

三、集合運算“交、并、補”與邏輯聯詞“且、或、非”的對照教學

通過學習我們了解到，對于邏輯聯詞“且”聯接的命題，有下列規定：若p、q都是真命題，則命題P∧q為真命題；若命題p和q中有假命題（僅有一個或兩個），則P∧q為假命題。再來回顧“交集”的含義：當x∈p和x∈Q同時成立時，才有x∈P∩Q成立；當x∈p和x∈Q只要有一個不成立時，x∈P∩Q就不成立。如果讓“真”“假”分別對應“屬于”“不屬于”，那么“且”和“交”就取得含義和表達形式的一致性。

從“并集”的角度出發，可以更加清晰準確地理解對使用邏輯聯詞“或”聯接的命題真假的規定。什么是P和Q的并集？它包含三個獨立部分，分別是P∩CUQ、P∩Q、CUP∩Q，只要元素x屬于其中的任何一部分，就都可以認為x∈P∩Q。剛好對應了“P∨q”形式的命題中，P真Q假、P真Q真、P假Q真時都是真命題，只有P假Q假時才是假的規定。

命題p和它的否定必定一真一假，若認為“命題p為真”對應“x∈P”,則x CUP,即命題p的否定“為假命題”；若“命題p為假”對應“x∈P”,那么“x∈CUPn”,即“命題p的否定 為真”成立。從補集的角度理解對命題p的否定，使得全稱命題和特稱命題的否定更加容易接受。

無論全稱量詞“任意一個”還是特稱量詞“存在一個”，強調的都是滿足某個條件的元素的數量，例如“任何一個矩形都是平行四邊形”，指出“不是平行四邊形的矩形一個都沒有”，即數量n=0，得到集合P=｛n∈N＊|n=0｝,而集合P的補集為｛n∈N＊|n＞0｝，可以理解為“不是平行四邊形的矩形的個數至少有一個”，即“存在一個矩形不是平行四邊形”。

從以上分析可以看出，在命題與集合之間，建立起邏輯聯結詞“或、且、非”與集合運算“交、并、補”的對應關系，體現聯系的觀點，借助已知去學習未知，用熟悉的內容理解陌生的知識，往往可以取得事半功倍的學習效果。