批次球磨產品的粒度分布預測

李 沛 劉建遠 趙瑞超 梁博文 王紹維

（1.內蒙古科技大學礦業研究院，內蒙古包頭014010；2.北京礦冶研究總院，北京102628；3.內蒙古科技大學分析測試中心，內蒙古包頭014010；4.內蒙古科技大學礦業與煤炭學院，內蒙古包頭014010）

預測磨礦產品的粒度分布是建立磨礦環節自動控制和磨機放大選型的基礎，是磨礦動力學研究的重要方向。

以Austin為代表的研究者們建立了總量平衡模型（Population Balance Model），并發展了模型求解和碎磨動力學參數反算方法；在此基礎上，以Herbst為代表的研究者探究了磨礦過程中輸入能量與碎裂速度的關系，進一步發展了該模型［1］。

該領域理論繁雜、晦澀，且鮮有文章給出完整的建模、參數求解過程，以至難以被選礦工作者學習、應用。

本研究擇優吸取前人的研究成果，對實驗室內批次球磨建模并確定模型參數，以預測一定工作條件、一定磨礦時間下產品的粒度分布。

1 建立模型

1.1 總量平衡模型

建模使用批次磨礦的總量平衡模型，其思想為：批次磨礦中某一粒級的增量為從粗粒級落下來的部分；其減量為該粒級粉碎后落入細粒級的部分，兩者差值為變化量［1-2］，其基于時間的微分表達式為其中，mi（t）為t時刻第i個粒級物料含量（定義最大粒級i=1，最細粒級i=n），%；Si為第i個粒級的碎裂速度，表示單位時間內該粒級的粉碎分數，min-1，也稱選擇函數，記作S；bij為碎裂分布函數，表示經粉碎由j粒級落入第i粒級的含量，無量綱。該值取決于物料性質，不受磨機尺寸和磨礦條件的影響，其累計的形式為累計碎裂分布函數Bij，定義為Bij-B(i+1)j=bij，2種形式都記作 B［3］。

S、B均為該模型的參數，統稱為碎磨動力學參數。

1.2 Herbst-Fuerstenau方程

Herbst等從磨礦過程能量輸入的角度展開研究，得出如下結論：當磨礦條件一定時，碎裂速度函數取決于起粉碎作用的凈功率Pball，數學表達式為

該式被稱為Herbst-Fuerstenau方程［3］，式中

Pball值很重要，應通過實測功率計算，kW；H為磨機內的干礦量，t；SiE為基于能量的碎裂速度函數，獨立于磨機尺寸，主要由物料性質決定，受鋼球級配的影響較大，t/（kWh）。

1.3 基于能量的總量平衡模型

聯合式（1）、式（3）并積分，可得到基于能量的總量平衡模型，其可用的積分表達式為［3］

式中，Mf為給礦矩陣，Mf=[mi|i=1,2,3…n] ；Mp為產品矩陣，Mp=[mi|i=1,2,3…n]；J是對角矩陣，其元素為為下三角矩陣，其元素為

上述解析式實為Reid解［4］，本研究用能量做變量替換了時間變量得來。需要說明的是，本研究選用基于能量的總量平衡模型是為后續研究做準備。如果只是建立指定磨機、指定工況條件的球磨預測模型，用基于時間的總量平衡模型即可。可以看出，模型應用的關鍵是確定碎磨動力學參數。

2 初定碎磨動力學參數

確定碎磨動力學參數至少要做若干單粒級的磨礦試驗，在此基礎上擬合、推算其余粒級的參數。

2.1 試驗內容、裝置及工況

2.1.1 試驗內容

（1）假設磨礦符合一階動力學，即有式（5），在單粒級上做間隔磨礦試驗，求各粒級的Si［2］。本研究選用的4個粒級為425～600、600～850、850～1 180、1 180～1 700 μm，磨礦時間間隔為0.5、1.0、2.0、4 min。

（2）根據Austin提出的BII法反算碎裂分布函數B，見式（6）［5］。

其中，Pi為的篩下累計含量，%。利用BII法時，磨礦時間t越長，B值越大，這是該方法的固有缺陷。因此t應盡可能短，以接近“一次碎裂”的假設，本研究選用t=0.5min。

2.1.2 試驗裝置與工況

以粒度為1 700～0 μm的硅石礦（石英含量為95%）為原料，每次磨礦量為500 g，質量濃度為65%，礦漿體積為0.45 L；磨礦用XQM-150型球磨機，轉速為78 r/min（相當于71%臨界轉速，由變頻器控制），球徑為25 mm，真密度為7.7 g/cm3，球重為5.25 kg（堆積體積約為1.15 L，空隙0.48 L），填充率約50%進行批次濕磨試驗，磨礦產品用泰勒篩的 2系列進行篩分，最小篩孔尺寸37 μm。

磨機功率用三相電測試儀測定，考慮到三相電的不平衡性，選用四線三相的連接方式測定三相功率之和。處理數據時應剔除啟、停機階段數據，取平穩運行階段至少30個連續數據的平均值。

2.2 試驗結果

試驗結果的一階動力學曲線見圖1，各粒級動力學方程見表1。

由表1的擬合優度R2接近于1可知，試驗磨礦符合一階動力學假設。

通過記錄球磨機空轉和工作時的功率，得到凈功率Pball=0.023 5 kW。結合式（3）可得1 180～1 700、850～1 180、600～850、425～600 μm粒級基于能量的碎裂速度函數SE的計算值分別為0.386、0.345、0.284、0.263 t/（kWh）。

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通過BII法，算得累計碎裂分布函數Bij，結果見表2。

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經比較，Bi1、B（i+1）2…B（i+3）4差距不大，有自相似性，可認為B值是規范化的，因此用平均值來統一表示［1，6］。

3 擬合碎磨動力學參數

通過試驗得到了4個粒級的碎磨動力學參數，繼續采用磨礦—篩分的試驗方法求解剩余8個粒級的參數顯得繁瑣、冗長，因而采用Austin等［6-7］提出的方法對剩下粒級的參數進行擬合。該擬合法是基于碎磨動力學參數與粒度或粒級的關系曲線是連續、有規律的，因此可用少量的點得到曲線，并依此推算未知的碎磨動力學參數。

因Excel有簡便的規劃求解工具，所以本研究不用圖解法，直接使用非線性規劃求解。

3.1 計算擬合參數初值

對于SE，可用式（7）計算［6］。

根據經驗，初定α0=0.1、α1=1，以的計算值與擬合值的相對標準誤差最小為目標，利用非線性規劃求解得到α0=0.022、α1=0.392，擬合結果見表3，相對標準誤差為2.500。

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其中，di為i粒級的粒級上限，μm；β0、β1、β2為擬合參數，根據文獻［8］估算的初值分別為0.426、1.130、5.540。

考慮到B值取決于物料性質，可用已有數據做初值。如文獻［8］給出了石英碎裂分布函數的擬合參數β0=0.5、β1=1.1、β2=5.4。

3.2 優化擬合參數

擬合參數共需5個，其值必須相互配合才能使整體效果最好。因此，有必要對其進行優化。其基本思路是：在擬合參數初值的基礎上，不斷變動其值，使模型擬合的粒度分布與試驗觀測的粒度分布盡可能接近［7］。

本研究使用軟件包“Moly-Cop Tools”中“Ball-Param Batch MultiTest”進行優化，具體步驟為①輸入磨機尺寸和磨礦條件；②選取并輸入至少4組試驗的給料粒度分布和對應的產品粒度分布、磨礦時間數據；③輸入擬合參數初值，調用Excel中“非線性GRG”做規劃求解。

規劃求解的具體方法可制定，本研究使用如下方案：

B的擬合方程為［7］

其中，P為篩下累計產率，%；m為參與擬合的數據組數（試驗數）；n為參與粒級的最大個數；wki是權重系數。本研究選用4個粒級磨礦1 min和2 min的數據，則m=8；全部粒級共12個，故n=12。wki依情況而定：對“有用”的粒級為1，“沒用”的粒級為0。如單粒級425～600 μm的試驗中，該粒級及以下粒級的wki=1；更粗粒級不參與擬合，wki=0。

添加約束是必要的，否則模型不穩定，對參與確定參數運算的數據擬合效果雖然好，但對新數據擬合效果差。優化后的碎磨動力學參數擬合結果見表4。

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由表4可以看出，碎裂分布函數的擬合參數β與文獻［8］中的很接近，說明擬合、優化方法較合理。據此可求得全部粒級的碎磨動力學參數，將其代入模型使模型可用。

3.3 模型精度的檢驗

模型對數據的擬合程度見圖2。

由圖2可以看出，擬合曲線都穿過觀測點。經計算，8組擬合值與其觀測值的相對標準誤差為7.57%。

需要指出的是，碎裂分布函數雖然是規范化的，但若B值的平均值是由少量試驗而得來，則模型精度會大幅度降低。

4 模型驗證

為驗證該模型，在磨礦設備及磨礦條件不變的情況下，進行兩組驗證試驗。

（1）第1組給礦粒度為0～1 700 μm，利用模型預測磨礦1、2、4、8 min的粒度分布，之后進行相應的間隔磨礦試驗，結果見圖3。

經計算，預測值與觀測值的相對標準誤差為4.99%。

（2）第2組給礦為硅石的人工配礦，210～300 μm、425～600 μm、600～850 μm、850～1 180 μm、1 180～1 700 μm粒級產率均為20%，即試驗有意設置300～425 μm粒級缺失，制造一個“斷層”，以驗證模型對非常規給料的適應性。預測結果見圖4，預測值與觀測值的相對標準誤差為5.30%，說明模型對非常規給料也適應，有較好的穩定性。

綜上所述，本預測模型的精度較高，對給料粒度變化不敏感，說明該模型可用。

5 結論

本球磨產品粒度分布預測模型是基于總量平衡模型和Herbst-Fuerstenau方程構建的，通過試驗和擬合確定碎磨動力學參數。驗證試驗表明，該模型精度較高，能滿足一般的預測要求，且可進一步發展為連續磨礦的粒度分布預測模型，為優化磨礦環節的自動控制提供依據。