采空區礦柱—頂板體系災變的流變力學分析

樓曉明 黃 慎 韓雪靖 周 平

（1.福州大學紫金礦業學院，福建福州350116；2.福州大學爆炸技術研究所，福建福州350116）

礦山采空區在礦柱流變、分化及剝落等因素的影響下，空區頂板會發生大面積冒落，引發嚴重的礦山事故［1-2］。因此建立合理的力學模型并預測采空區頂板穩定時間，對于指導采空區進行及時有效的支護、充填等工作具有非常重要的現實意義。目前，已有很多學者對采空區穩定性進行了研究。在采空區穩定時間方面，來興平［3］等采用BP神經網絡等方法，構建出具有多個自由度的神經元，將其耦合成適用于力學問題的網絡，對采空區圍巖損傷進行計算，得到時間序列模式下采空區圍巖環境損傷破壞的演化趨勢；李愛兵［4］等以結構風險最小化為基礎，采用SVM算法，對現有工程的實際數據進行學習回歸，確定了采空區穩定時間；張源［5］等利用工業電子窺視儀對頂板進行攝像觀察，通過統計分析其攝像數據，得出頂板裂隙演化規律及頂板破壞形式，預測了頂板的穩定時間。但由于國內礦山的數據資料存在著不連貫、不及時、不可靠等問題，所以采用基于數據庫的算法確定的采空區穩定時間存在較大誤差。另外，實地攝像、監測等方法存在實施過程復雜，推廣性不強等缺陷。在采空區頂板—柱體系力學模型方面，常見的一類模型是將采空區頂板簡化為巖梁，將礦柱視為Winkler彈性地基基礎［6-7］。巖梁模型雖簡單易算，但存在未考慮頂板空間效應及頂板各向異性的缺點。為解決巖梁模型存在的問題，基于彈性薄板理論，J A Wang［8］等將頂板簡化為彈性薄板，礦柱視為均布彈簧建立力學模型，但其未考慮礦柱本身的流變；孫琦［9］等同樣將頂板簡化為彈性薄板，并將礦柱視為Burgers體建立力學模型，但在進行解析計算時，存在未完全求解的缺點；李鐵［10］等在建立力學模型時，將礦柱視為廣義Kelvin體，得到了采空區變形發展與時間的關系，但其模型參數較少。

為了更好反映巖石特性，得到更具有代表性的采空區流變方程，選用Hooke-Kelvin-kelvin模型建立礦柱—頂板流變力學體系，結合彈性薄板理論，分析頂板流變失穩過程，預測采空區頂板的穩定時間。

1 流變力學模型的建立與求解

1.1 模型建立

將采空區頂板簡化為彈性矩形薄板（如圖1），設該彈性矩形薄板長為2a，寬為2b（b≤a），厚為h。礦柱視為Hooke-Kelvin-kelvin模型（如圖2），采空區礦柱—頂板體系簡化模型見圖3。假設礦柱等間距分布，礦柱總的數量為n，高度為h，平均面積為A。

則Hooke-Kelvin-kelvin模型的本構方程可表示為：

式中，E1，E2，E3為彈性系數；η1，η2為黏性系數。令：

則礦柱本構關系可簡化為：

礦柱應變與位移關系為：

1.2 礦柱—頂板體系微分方程的建立

基于彈性薄板理論，采空區頂板控制方程為：

其中，

式中，D為薄板抗彎剛度；?為拉普拉斯算子；ω為薄板撓度；ξ為將礦柱應力等效成均布應力系數；σ為礦柱內應力；q為頂板所受均荷載；E為彈性模量；H為薄板厚度；μ為泊松比。

求采空區的頂板變形轉化為求式（2），（3），（4）解的問題。將Hooke-Kelvin-kelvin模型本構方程，礦柱應變與位移關系式，代入頂板控制方程式可得：

式（7）即為采空區頂板—礦柱體系的微分方程。其中，ω?，ω?分別為頂板下沉撓度ω對時間的二階導數和一階導數。

1.3 礦柱-頂板體系微分方程的求解

采用Galerkin法求解式（7），設撓度有如下解析解的形式：

式中，ω0（t）為采空區頂板中心點的下沉位移，亦即采空區頂板最大下沉位移。則有

則有：

式（11）為一個二階非齊次線性微分方程，其通解為：

式中，C1，C2為積分常數；r1，r2表達式如下：

1.4 積分常數的求解

空區頂板的變形破壞過程：初始狀態，空區頂板四周邊界固支，此時空區頂板變形沉降導致邊界破壞，隨后長短邊發生破壞，邊界狀態由固支轉為簡支。具體見圖4。

（1）當采空區頂板未發生破壞時，其邊界為固定邊界，邊界條件為：

設頂板撓度的解析解的形式為:

顯然f（x，y）滿足所有邊界條件，將f（x，y）代入式（10）可得：

礦柱在初始狀態受壓時會產生瞬時彈性變形，此時的礦柱有效剛度為k2，其位移量［11］為：

隨著時間的推移，頂板位移逐漸增加，其破壞條件［12］為：

（2）內部破裂邊界條件為：

假設頂板的撓度解析解形式為：

則可解得：

此時的破壞條件［12-13］為：

式中，σxmax為頂板中點x方向最大拉應力；σymax為頂板中點y方向最大拉應力。

2 工程實例分析

福建省龍巖地區某礦于2008年2月對其礦山礦產資源運用房柱式采礦方法進行開采，采空區平面尺寸為2a×2b=162×143 m，礦柱高為6 m，礦柱總的橫截面面積與采空區頂板的面積比值為35.7%。采空區頂板上覆巖層厚度134 m，容重為22 kN/m3，采空區頂板厚度為H=34 m，容重為25 kN/m3，采空區頂板巖石平均彈性模量值為E=48 GPa，泊松比為μ=0.26，采空區頂板巖石頂板平均抗拉強度值為［σT］=3.6 MPa，礦柱流變參數為E1=13.4 GPa/m，E2=87 GPa/m，E3=296 GPa/m，η1=32 GPa·h，η2=5.4×105GPa·h。

由以上參數可得，采空區頂板上覆巖層及采空區頂板自重總的均布載荷為：

采空區頂板巖石的抗彎剛度為：

初始時刻采空區頂板撓度為：

采空區頂板初始下沉速度為：

由式（15）可知，固定邊界變為簡支邊界頂板破壞條件如下。

對于采空區頂板長邊：

對于采空區頂板短邊：

將C1，C2，ω0a，ω0b代入式（12）可求得t1≈34月。

當第二階段發生破壞時，根據式（17）可求得t2≈47月。

由此可求得該采空區總的穩定時間t為81月，預測該銅礦采空區將在2014年11月發生采空區大面積頂板冒落。現場監測數據表明，在2014年9月，該銅礦采空區發生了采空區頂板局部冒落現象。該采空區的現場監測數據驗證了該流體力學模型的可靠性。

3 結論

（1）和以往研究者采用的Burgers體、Kelvin體、廣義Kelvin體建立模型相比，本研究建立模型采用的Hooke-Kelvin-kelvin模型能更好地反映巖石的蠕變特性，不僅考慮了巖石的初始彈性及流變特性，且參數適中，較好地兼顧了理論計算與工程實際的需要。

（2）基于Hooke-Kelvin-kelvin模型建立的采空區流變力學模型對采空區的穩定時間進行了預測，并將其與現場實際的監測數據進行對比和分析，實踐結果驗證了建立的采空區流變力學模型的合理性與可靠性。

（3）利用Hooke-Kelvin-kelvin模型建立空區模型進行計算時，沒有考慮礦柱及頂板受節理、地下水、分化作用等外界因素的影響，如果要對這類外界因素對采空區頂板穩定性的影響進行研究，可通過對一些相關的系數進行適當的折減。