“恒成立”問題的解題方法探微

江蘇省南京市玄武高級中學 尹 澳

恒成立問題是高中數學中的常見題型，也是高考考查的重要知識點。高中生應該在平時的解題實踐中，對恒成立問題進行概括和總結，提高自身的綜合解題能力。本文將著力結合恒成立問題，就其在函數、方程、不等式等題型中的解析應用方法進行歸納。

一、在函數題型中解析恒成立問題

函數題是高中數學的重要題型，也是高考考查的必考知識點。恒成立問題在函數題型中較多，也為我們了解恒成立問題、探析函數的性質提供了參考。如在某題中，一次函數f（x）=（m-6）x+2m-4，函數x的定義域為[-1，1]。當f（x）＞0恒成立時，求實數m的取值范圍。該題為常見的恒成立題目，我們通過對題意進行分析，可以先得到一次函數的圖像，觀察其圖像，在定義域[-1，1]范圍內，若f（x）＞0恒成立，則應該滿足f（-1）＞0和f（1）＞0。據此，我們可以得到關于m的不等式，進而求解出m的取值范圍。也就是說，在該題解題方法上，通過已知條件，可以根據一次函數的性質，加上與恒成立的條件，得到一次函數應該滿足都大于0的條件。據此，我們可以提煉關鍵信息，將一次函數及其圖像作為判斷依據，從定義域范圍內應該都滿足大于0的要求。同樣，在二次函數里，如果存在恒成立問題，又該如何去解題？高中數學二次函數有一元二次、二元二次函數，恒成立問題多與一元二次 函數結合。當然，也有一元二次不等式。如下題：當x∈R，若要使不等式mx2+2x+3＞0恒成立，求m的取值范圍。該題是關于不等式的恒成立問題，且有二次函數，我們可以對該函數進行分析，假設當m=0時，不等式成立；當m＞0時，根據一元二次函數的性質，得到該圖像的開口向上，且關于對稱軸的值應該在x軸上方；當m＜0時，該圖像開口向下，且關于對稱軸的值也應該在x軸上方。據此，我們可以綜合分析，得到m的取值范圍應該為（0，3）。

二、以參量法來解恒成立問題

針對恒成立問題，可以根據題意，結合高中知識來靈活選擇不同的解題思路和方法。當然，不同題型的解題方法也不盡相同，我們在平時要多積累、多歸納，選擇合適的解題方法，來化解恒成立問題。參量法作為其中之一，可以為我們提供更好地解題思路。通常，在恒成立問題求解中，時常會遇到一些不等式的證明，而不等式中又涵蓋一些參量，這些參量的處理，往往為我們化解難題提供了關鍵。通過對參量進行換元處理，可以提升解題效率。如某題：有任意的a∈[-1，1]，對于函數恒成立，求x的取值范圍。同樣是一元二次不等式，出現了恒成立問題，我們可以從中分析題意，給出的條件為a的取值范圍，但對于不同的a值，會遇到什么情況？我們可以在分析后，將a作為參量來分析不同情況。根據取值范圍[-1，1]，當a=0時、a＞0時、a＜0時，不同情況下的函數范圍以及對應的x的范圍都可能不同。如此來梳理解題思路，顯得很麻煩。如果我們引入換元法，將參量a作為變量來分析，則對原函數的x看作參量，如此一來，二次函數就化為一次函數。由此，再根據題意來求解，解法會輕松很多。最后，我們也可以通過驗證方式來考查解法是否正確。當然，針對參量的換元法，我們還可以應用其他方法來解題。如分離參量法，結合題意中的參量，可以對參量進行提取，將不等式進行適當變形，由原來的恒成立問題，轉換為較為簡單的關于某一參量的問題。以某題為例：當x∈R，在不等式恒成立時，求解a的取值范圍。觀察該不等式，有兩個變量，一個為a，一個為x，對于a還是二次項。為此，我們可以通過變形手法，將不等式轉變為一邊只有a的方程，另一邊只有x的方程，從而得到兩個代數式，可以將之看作兩個函數式，即根據sinx的最值范圍，得到關于a的不等式求解該不等式，即可得到a的取值范圍。通過對上述恒成立問題的分析，為我們研究和應用不同解法積累了經驗。在解題時，要沉著冷靜，分析好題意和題型變化，選擇合適的解法。

三、利用構造法來化解恒成立問題

在恒成立問題求解方法上，我們會發現一些條件無法被直接利用，需要從中進行提煉，這時，我們可以通過構造法，將有助于拓展解題思路。復數是高中數學重要內容，復數有實部、虛部兩部分，根據實數的性質，可以推導出復數的一些性質。恒成立問題，有時可以借助于復數的構造，來獲得快速求解方法。以某題為例，存在一個x，y，其定義域為R，求證：我們初看該題，分析為不等式，但通過分析題目中的變量關系，我們可以利用絕對值不等式來巧解該題。假設z1=x+yi，z2=（x+3）+（y+4）i，通過對z1，z2進行計算，得出結果再代入到不等式中，就可以完成證明。為此，我們需要先構造函數，接著，利用構造函數或其他數學形式來構造出外延和擴大的表達式，再利用縮小形式進行證明。需要強調的是，在構造函數引入解題時，順序不能顛倒，對復數進行構造時，要結合復數性質來構造。當然，構造法的運用，需要我們能夠從題設中查找和發現關鍵點，并對這些關鍵信息進行驗證。

總之，在高中數學的學習過程中，我們應當通過對數學知識的不斷探究，尋找各個知識點之間的聯系。其中關于高中數學恒成立問題的解題策略是作為高中生應當熟練掌握的一項重要知識技能，求解方法較多，學生要圍繞不同題型，拓寬解題思路，挖掘數學知識，選擇恰當解法。高中生要在平時多積累解題經驗，提升數學解題水平。