高中解析幾何試題探究

安徽省馬鞍山市和縣第二中學 鮑書齋

解析幾何是高考數學科目中的重要內容，其課程難度算是中等，例題樣式卻層出不窮，需要學生去反復練習和大量記憶。解析幾何大體內容可以分為直線和圓、橢圓、雙曲線和拋物線，主要的考點集中在求曲線方程、直線與圓錐曲線的交點、曲線的最（極）值和探求曲線方程中幾何量極參數間的數量特征這幾個方面。本文根據筆者的教學實踐和與其他教師交流經驗，整合和梳理了高中解析幾何方面的問題和解題思路。

一、學生在高中解析幾何學習中所遇到的問題

首先是部分學生的代數運算能力不足，解析幾何不可避免地要涉及一定的運算，如果學生運算能力不足，就會阻礙學生進一步吸收解析幾何的知識。有些學生的運算習慣不好，基本運算能力偏弱；有些學生忽視運算的幾何意義，一味靠代數運算；還有些學生運算時思路不靈活，喜歡單向運算；另外一些學生沒有對如何引入參數進行深入思考，導致解析幾何運算走錯方向。

其次是部分學生對平面幾何這一學科分支的基本思想理解有偏差，解析幾何的基本思想是用代數的方法來研究幾何問題，而兩者之間的橋梁就是平面直角坐標系，通過建立直角坐標系，我們用坐標

表示點，用方程 表示曲線，最后用方程研究曲線。但很多學生缺少用幾何眼光來觀察問題的能力，一味地將幾何問題代數化，從而陷入了復雜的運算。有些問題不僅需要將幾何條件代數化，還要從幾何的角度去看轉化后的代數問題。

再次，解析幾何的本身特點讓其學習有一定的難度，第一，解析幾何具有代數和幾何兩方面的特征，這就讓學生很容易就顧此失彼；第二，解析幾何的思考方法具有一定的抽象性，學生很容易淹沒在具體的學習內容中，迷失解析幾何的意義；第三，解析幾何的解決途徑一般都比較多，選擇解決途徑本身就對學生有一定的難度。

最后，有些教師的專業知識不足，教學方法不當，只知道使用各類習題“狂轟濫炸”，導致學生對于解析幾何的深刻性難以理解。比如，我在教導學生“斜率的概念”時，就不會讓學生在獲得公式后直接開始練習，而是讓學生放下公式的束縛，發掘公式推導與證明方法，進而去理解方法背后本質的降維轉化的思想，這對于學習解析幾何之后的內容大有裨益。

二、具體試題分析探究

1.直線及其方程

教師要從總體上把握兩個突破點：首先，明確基本的概念。在直線部分，最主要的概念就是直線的傾斜角和斜率；其次，是直線方程的不同形式，教師可以讓學生嘗試從不同的角度去歸類。

2.線性規劃

需要教師指導學生明白線性規劃方程組所表示的區域。原點法是應用于線性規劃的一種很好的解題思路，如果滿足條件，那么區域包含原點；如果原點代入不滿足條件，那么代表的區域不包含原點。

3.圓及其方程

學生要熟記圓的標準方程和一般方程分別代表的含義。對于圓部分的學習就是對于初中數學有關圓的部分的一次拓展，只有完成了對于以前知識的拓展，學生才能更加完整地掌握圓的相關知識。

比如：“平行于直線2x+y+1=0且與圓x2+y2=5相切的直線方程是（ ）。”直線是二元對象，兩個獨立條件就可以確定它的方程，所求直線與直線2x+y+1=0平行，故在此條件下，所求直線就成了一元數學對象2x+y+c=0。在直線與圓x2+y2=5相切的條件下，所求直線中的c就可以確定，從而確定答案為2x+y+5=0或2x+y-5=0。

4.關于拋物線、橢圓、雙曲線

教師要讓學生明白焦點的來源、準線方程以及相關的焦距、頂點、離心率、通徑的概念。點差法也是在橢圓的題目中經常運用的一種方法，盡管范圍不是很廣，但如果能用點差法做的題目，會比常規方法簡單很多。該類題目大都涉及弦的中點，設橢圓上兩個點的坐標，將兩點在橢圓上的方程相減，整理即可得到這兩點中點的橫縱坐標與這兩點連線的斜率的關系式，或者說得到兩點連線斜率和中點與原點連線的斜率積。

比如：“已知拋物線y=ax2-1的焦點是坐標原點，則拋物線與兩坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為__________?！睆膾佄锞€y=ax2-1的焦點為坐標原點可得a=-，則其與坐標軸的交點為（0，-1），（-2,0），（2,0），則以這三點圍成的三角形面積為

總之，解析幾何題目不僅需要學生付出耐心去學習，更需要教師在一旁耐心教導，調動學生的主動學習和主動探究能力，還要鍛煉學生的運算速度和準確率，這樣雙方都進行努力，一定能讓學生在解析幾何的學習中獲得突破。