高考不等式專題學生存在問題及原因分析

周白生

眾所周知，不等式是高中數學的重點和難點，一直以來都是高考熱點內容，其中含參的不等式問題是近幾年考得較多的一種題型.

由于不等式幾乎能與所有數學知識建立廣泛的聯系，因而在交匯的背景下，不等式可以較為綜合地考查學生的數學抽象、邏輯推理及數學運算等數學核心素養，本文根據近年高考不等式專題答題情況對學生存在的主要問題進行剖析.

1不等式概念認識不清

本專題中不等式概念認識不清常常體現在面對具體問題時，學生不能從題目所給信息中選擇正確的不等式公式模型，在選擇二次不等式模型還是基本不等式模型上存在障礙.

例1 祖暅原理：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.現有一個圓柱和一個長方體，它們的底面積相等，高也相等，若長方體的底面周長為8，圓柱的體積為l6π，根據祖咂原理，可得圓柱的高h的取值范圍是（ ）

A.（0，π]B.（0，4π] C.[π，+∞） D. [4π，+∞）

解析 由祖暅原理知：長方體與圓柱的體積相等，故長方體的體積為l6π，設長方體的底面邊長分別為a，b，則a+b=4.16π=abh，故h=16π/ab≥16π/（a+b）2/2.

評析 本題主要考查基本不等式，其難點主要在于利用三角形的一邊及這條邊上的高表示內接正方形的邊長，在用基本不等式求最值時，應具備三個條件：①一正：關系式中，各項均為正數;②二定：關系式中，含變量的各項的和或積必須有一個為定值;③三相等：含變量的各項均相等，取得最值.

2不等關系中數量關系的刻畫不到位

應用線性規劃處理實際問題需要學生具備良好的數學建模思想、數形結合思想，以及分析問題與解決問題的能力，這部分內容是近些年高考的熱點，是學生學習的難點，應用線性規劃解題包含一個完整的解題過程：理解題意、數據分析、列不等式、列目標函數、實際的整點問題，學生在解題過程中主要存在如下障礙：（1）理解題意、建立數學模型，理解題意指的是通過閱讀題目獲取已知信息、明確解題目標，也就是實際問題數學化的過程，即將“自然語言”表達的條件和目標轉化為數學“符號語言”;（2）用平面區域表示二元一次不等式（組）.用平面區域表示二元一次不等式（組）對于學生來說比較抽象，學生不能理解為什么可以用平面區域表示約束條件，明明研究的是數量關系，為何一下子又變成幾何問題了，原因就在于學生沒有很好地理解一一對應思想.（3）圖解法求解過程在學習線性規劃之前，學生接觸的求最值問題都是一元函數在定義域內求最值，用到的方法有利用函數單調性求最值、觀察圖像特征求最值、利用導數求最值，較少接觸二元最值問題，變量的取值范圍變成二元一次不等式組成的解集，學生表現出一定的不適應.

例2 （2016年高考全國新課標I卷·理16）某高科技企業生產產品A和產品B需要甲、乙兩種新型材料，生產一件產品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個工時;生產一件產品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個工時，生產一件產品A的利潤為2100元，生產一件產品B的利潤為900元，該企業現有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個工時的條件下，生產產品A、產品B的利潤之和的最大值為____元.

評析 面對試題中冗長的文字，學生很難在較短的時間內正確理解題目的意思，導致方寸大亂;沒有理解題意，不能在規定時間內將題目所給信息正確分類，列出滿足題意的不等式組，得到正確的目標函數關系，結果導致失分;此外還有一個原因可能就是大部分學生似乎形成一種定式習慣，認為填空題最后一題就是難題，所以干脆就選擇直接放棄.

3化歸與轉化思想意識薄弱

學生只關注不等式及共性質，不能做到在解題中滲透等價轉化思想，從高考試題中可以看出命題專家并沒有忽略對不等式自身特征的考查，但是又不是簡單地考查不等式性質等內容，需要學生在解題的時候能有所滲透，懂得將各塊知識適當結合.

例如參數的范圍問題常可以化歸為恒成立問題、無解問題、有解問題，但因學生不能很好地運用化歸思想方法，以致不會處理此類問題.

例3 （2017年高考全國新課標I卷·理23）[選修4-5：不等式選講]已知函數f（x）= -x2+ ax+4，g（x）=|lx+1|+|lx-1|.（I）略;（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[一1，1]，求d的取值范圍.

解析當x∈[-1，1]時，g（x）=2，所以f（x）≥g（x）的解集包含[-1，1]，等價于當x∈[-1，1]時，f（x）≥2，又f（x）在[-1，1]的最小值必為f（-1）與f（1）之一，所以f（-l）≥2且f（1）≥2，得-1

評析 不等式f（x）≥g（x）的解集包含[一1，1]，學生不能很好地運用化歸思想化歸為恒成立問題，化歸思想方法即等價轉化，即兩者形式不同但實質相同可互相替換，在遇到復雜的、不易解釋的問題時可適當運用化歸等價轉化，將問題化為在已有知識范圍內可解的問題.在實施等價轉化時，我們要遵循簡單化、統一化、等價化的原則，使轉化過程簡單有效，經常使用等價轉化思想，可培養和訓練轉化意識，可以提高解題的水平和能力，有利于增強解決數學問題的應變能力和思維能力，從而提高解題的技能、技巧.

4綜合應用能力欠缺

不等式強大的融合交匯功能往往使得命題者希望能將其與其他知識交匯在一起進行命題，綜合考查學生數學抽象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養，這就要求學生知識綜合的能力較強，能夠在考查以其他知識為載體的試題背景下，靈活應用不等式相關性質進行求解，而我們學生在這方面欠缺的能力是比較多的.

評析 對于連等問題，常規的方法是令該連等為同一個常數，再用這個常數表示出對應的x1，y1，z，通過作差或者作商進行比較大小，對數運算要記住對數運算中常見的運算法則，尤其是換底公式和0與1的對數表示.

5不等式縮放技巧不夠熟練

常用不等式縮放公式掌握不夠熟練，不能準確地將式子進行適當的放縮，這也是證明不等式讓很多學生比較頭疼，摸不到解題方向的癥結所在，實際上通過適當的放縮將式子放大或者縮小，便可將問題迎刃而解.

評析 本題是一個n項和式的不等式證明問題，和的通項ak/a（k+1）的基本特點就是一個正分式，而目標中均出現了n/2，因此比較容易想到要把分式與1/2進行比較，而對于一個正分式來說，若分子變大（或者分母變小），則分式的值變大;若分母變大（或者分母變小），則分式的值變小，通過利用這一性質，進行適當放縮，將不可求和數列問題轉化為可求和的數列問題，便達到了證題目的.

6分類與整合意識薄弱

本專題中經常出現的問題大致有三種情況，第一是對于絕對值不等式在去絕對值時，沒有辦法清楚地找到零點所在，即使找到零點，也沒有辦法在討論時做到不重不漏，第二是對參數或者含參代數式進行討論時找不到討論的分界點.最后就是對于討論所得結果不知道怎么樣整合在一起.

評析零點分段法是解答絕對值不等式常用的方法，也可以將絕對值不等式轉化為分段函數，借助圖像求解，本問題學生失分的關鍵大致有三點，第一點：去絕對值時符號出錯，零點分段不清，所以從解題之初就開始出錯;第二點：求不等式組解集時出錯;第三點：在整合答案時出錯，不懂得將解集與題設條件取交集，從這些錯誤中可以看出學生的分類與整合的意識非常薄弱.

參考文獻

[1]殷木森.2017年高考“不等式”專題解題分析[J].中國數學教育（高中版），2017 （C2）： 91-96