二次函數的新題型

文 /方震軍

二次函數是初中數學的重要內容，也是新題型的重要素材.現把與二次函數相關的新題型歸納如下.

一、規律探究型

例1一列自然數0，1，2，3，…，100，依次將該列數中的每一個數平方后除以100，得到一列新數．下列結論正確的是（ ）.

A．原數與對應新數的差不可能等于零

B．原數與對應新數的差，隨著原數的增大而增大

C．當原數與對應新數的差等于21時，原數等于30

D．當原數取50時，原數與對應新數的差最大

解析：設原數為a，則新數為

設新數與原數的差為y，則

當a=0時，y=0，選項A錯誤；

當a＜50時，y隨a的增大而增大，當a＞50時，y隨a的增大而減小，因此，選項B錯誤，選項D正確；

當y=21時，由，解得a1=30，a2=70，選項C錯誤．

選D．

二、圖象信息型

例 2圖1是二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）圖象的一部分，與x軸的交點A在（2，0）和（3，0）之間，對稱軸是x=1．對于下列說法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m為實數）；⑤當-1＜x＜3時，y＞0.其中正確的是（ ）.

A．①②④ B．①②⑤

C．②③④ D．③④⑤

x=，∴2a+b=0，②正確；

∵2a+b=0，∴b=-2a，拋物線與x軸交點的橫坐標x0，x1，且x0＞x1,則2＜x0＜3，由對稱性可得-1＜x1＜0，∴當x=-1時，y=a-b+c＜0，∴a-（-2a）+c=3a+c＜0，③錯誤；

由圖象可知，當m=1時,函數有最大值；當m≠1時，有am2+bm+c＜a+b+c，所以a+b≥m（am+b）（m為實數），④正確；

由圖象可知，當-1＜x＜3時，y不一定都大于0，⑤錯誤．

選A．

圖1

三、新定義型

例3小賢與小杰在探究某類二次函數問題時，經歷了如下過程：

求解體驗

（1）已知拋物線y=-x2+bx-3經過點（-1，0），則b=______，頂點坐標為______，該拋物線關于點（0，1）成中心對稱的拋物線的表達式是______.

抽象感悟

我們定義：對于拋物線y=ax2+bx+c（a≠0），以y軸上的點M（0，m）為中心，作該拋物線關于點M對稱的拋物線y′，則稱拋物線y′為拋物線y的衍生拋物線，點M為衍生中心.

（2）已知拋物線y=-x2-2x+5關于點（0，m）的衍生拋物線為y′，若這兩條拋物線有交點，求m的取值范圍.

問題解決

（3）已知拋物線y=ax2+2ax-b（a≠0）.

①若拋物線y的衍生拋物線為y′=bx2-2bx+a2（b≠0），兩拋物線有兩個交點，且恰好是它們的頂點，求a，b的值及衍生中心的坐標；

②若拋物線y關于點（0，k+12）的衍生拋物線為y1，其頂點為A1；關于點（0，k+22）的衍生拋物線為y2，其頂點為A2……關于點（0，k+n2）的衍生拋物線為yn，其頂點為An（n為正整數）.求AnAn+1的長(用含n的式子表示).

解析：（1）把（-1，0）代入y=-x2+bx-3得b=-4.

∴y=-x2-4x-3=-（x+2）2+1，

∴ 頂點坐標是（-2，1）.

∵（-2，1）關于（0，1）的對稱點是（2，1），

∴所求的成中心對稱的拋物線是y=（x-2）2+1，

即y=x2-4x+5，如圖2.

（2）∵y=-x2-2x+5=-（x+1）2+6，

∴ 頂點坐標是（-1，6）.

∵（-1，6）關于（0，m）的對稱點是（1，2m-6），

∴y′=（x-1）2+2m-6.

∵ 兩個拋物線有交點，

∴ 方程-（x+1）2+6=（x-1）2+2m-6有解，

∴x2=5-m有解，∴5-m≥0，即m≤5，如圖3.

（3）①∵y=ax2+2ax-b=a（x+1）2-a-b，

∴ 頂點為（-1，-a-b），代入y′=bx2-2bx+a2得

b+2b+a2=-a-b.①

∵y′=bx2-2bx+a2=b（x-1）2+a2-b，

∴ 頂點為（1，a2-b）,代入y=ax2+2ax-b得

a+2a-b=a2-b.②

圖2

圖3

圖4

圖5

∴ 兩頂點坐標分別是（-1，0），（1，12），由中點坐標公式得衍生中心的坐標是（0，6），如圖4.

② 如圖5，設AA1，AA2，…，AAn，AAn+1與y軸分別交于點B1，B2，…，Bn，Bn+1，則點A與A1，A與A2，…，A與An，A與An+1分別關于B1，B2，…，Bn，Bn+1對稱，

∴B1B2，B2B3，…，BnBn+1分別是△AA1A2，△AA2A3，…，△AAnAn+1的中位線，

∴A1A2=2B1B2，A2A3=2B2B3，…，AnAn+1=2BnBn+1.

∵Bn（0，k+n2），Bn+1[0，k+（n+1）2]，

∴AnAn+1=2BnBn+1

=2[k+（n+1）2-（k+n2）]=4n+2.

四、方案設計型

例4空地上有一段長為a米的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍城一個矩形菜園ABCD，已知木欄總長為100米.

（1）已知a=20，矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄，且圍成的矩形菜園面積為450平方米，如圖6，求所利用舊墻BC的長；

（2）已知0＜a＜50，且空地足夠大，如圖7.請你合理利用舊墻及所給木欄設計一個方案，使得所圍成的矩形菜園ABCD的面積最大，并求面積的最大值.

圖6

圖7

解析：（1）設AD=x米，則米.

因為a=20且x≤a，所以x2=90不合題意，舍去.

故所利用舊墻BC的長為10米.

（2）設AD=x米，矩形ABCD的面積為S平方米.

①如果按圖6圍成矩形菜園，依題意得

Sx-50）2+1250，0＜x≤a，

因為0＜a＜50，當x≤a＜50時，S隨x的增大而增大,

所以當x=a時

②如果按圖7方案圍成矩形菜園，依題意得

S