二次函數(shù)在生活中的應(yīng)用

文 /鄧革周

二次函數(shù)在生活中的應(yīng)用，主要涉及到商品利潤(rùn)、幾何圖形的最值和判斷說理等方面.下面舉數(shù)例加以說明，供你學(xué)習(xí)時(shí)參考.

一、拋物線形問題

例1某游樂園有一個(gè)直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴頭，噴出的水柱為拋物線，在距水池中心3米處達(dá)到最高，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合．如圖1所示，以水平方向?yàn)閤軸、噴水池中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．

（1）求水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式；

（2）王師傅在噴水池內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅必須站在離水池中心多少米以內(nèi)？

（3）經(jīng)檢修評(píng)估，游樂園決定對(duì)噴水設(shè)施做如下改進(jìn)：在噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池的直徑擴(kuò)大到32米，各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物（高度不變）處匯合，請(qǐng)?zhí)骄繑U(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度．

解：（1）設(shè)水柱所在拋物線（第一象限部分）的解析式為y=a（x-3）2+5（a≠0），

將（8，0）代入y=a（x-3）2+5，得

圖1

25a+5＝0，

（2）當(dāng)y=1.8時(shí)，有

解得x1=-1（舍去），x2=7，

∴王師傅必須站在離水池中心7米以內(nèi)．

（3）當(dāng)x=0時(shí)

∵ 該函數(shù)圖象過點(diǎn)（16，0），

解得b=3，

點(diǎn)評(píng)：利用二次函數(shù)解決拋物線形的噴泉、隧道、大橋和拱門等實(shí)際問題時(shí)，要把實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)，從而確定解析式，通過解析式去解決問題．

二、商品利潤(rùn)問題

例2“揚(yáng)州漆器”名揚(yáng)天下，某網(wǎng)店專門銷售某種品牌的漆器筆筒，成本為30元/件，每天銷售y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系，如圖2所示．

圖2

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果規(guī)定每天漆器筆筒的銷售量不低于240件，當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲取的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？

圖3

（3）該網(wǎng)店店主熱心公益事業(yè)，決定從每天的銷售利潤(rùn)中捐出150元給希望工程，為了保證捐款后每天剩余利潤(rùn)不低于3600元，試確定該漆器筆筒銷售單價(jià)的范圍．

分析：（1）可用待定系數(shù)法確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)“利潤(rùn)＝銷售量×單件的利潤(rùn)”，結(jié)合（1）中的函數(shù)關(guān)系式，求出利潤(rùn)和銷售單價(jià)之間的關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)來求最大利潤(rùn)；

（3）建立利潤(rùn)w與x的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而利用所獲利潤(rùn)等于3600元時(shí)，求出對(duì)應(yīng)x的值，根據(jù)增減性，求出x的取值范圍．

解：（1）設(shè)y=kx+b.

∴y=-10x+700.

（2）由題意，得

-10x+700≥240，

解得x≤46.

設(shè)利潤(rùn)為w，則w=（x-30）·y=（x-30）（-10x+700），

w=-10x2+1000x-21 000=-10（x-50）2+4000，

∵-10＜0，

∴當(dāng)x＜50時(shí)，w隨x的增大而增大，

∴ 當(dāng)x=46時(shí)，w最大=-10（46-50）2+4000=3840.

答：當(dāng)銷售單價(jià)為46元時(shí)，每天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是3840元.

（3）w-150=-10x2+1000x-21 000-150=3600，

-10（x-50）2=-250，

x-50=±5，

x1=55，x2=45，

如圖3所示，由圖象得

當(dāng)45≤x≤55時(shí)，捐款后每天剩余利潤(rùn)不低于3600元．

點(diǎn)評(píng)：在生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到求最大利潤(rùn)、最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是確定二次函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)確定其最大值.自變量x的取值要使實(shí)際問題有意義．如本題第（2）題，如果不注意自變量的取值范圍，將x=50代入求最值就錯(cuò)了.

三、判斷說理問題

例3某農(nóng)場(chǎng)擬建一間矩形種牛飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面靠墻（墻足夠長(zhǎng)），已知建筑材料可建圍墻50m．設(shè)飼養(yǎng)室長(zhǎng)為x（m），占地面積為y（m2）．

（1）如圖4，問飼養(yǎng)室長(zhǎng)x為多少時(shí)，占地面積y最大？

（2）如圖5，現(xiàn)要求在圖中所示位置留2m寬的門，且仍使飼養(yǎng)室的占地面積最大.小敏說：“只要飼養(yǎng)室長(zhǎng)比（1）中的長(zhǎng)多2m就行了.”請(qǐng)你通過計(jì)算，判斷小敏的說法是否正確．

圖4

圖5

解析：（1）∵飼養(yǎng)室長(zhǎng)xm，

∴當(dāng)x=25時(shí)，占地面積最大.

飼養(yǎng)室長(zhǎng)為25m時(shí)，占地面積y最大.

（2）∵飼養(yǎng)室長(zhǎng)xm，中間位置留2m寬的門，

∴當(dāng)x=26時(shí)，占地面積最大.

飼養(yǎng)室長(zhǎng)為26m時(shí)，占地面積y最大.

∵26-25=1≠2，

∴小敏的說法不正確．

點(diǎn)評(píng)：解一邊靠墻圍矩形場(chǎng)地的面積問題，用自變量表示矩形的長(zhǎng)和寬，根據(jù)矩形的面積公式得出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.在幾何圖形中,二次函數(shù)問題常見的有：面積的最值、用料的最佳方案以及動(dòng)態(tài)幾何中的最值.