向量解題十二招式理論與實踐

薛超群

（福建省寧德市高級中學，福建寧德 352101）

引 言

向量是高中數學教材重要的教學內容，在近年的全國高考中考查力度和比例逐漸加大。在教學中，教師在課堂中結合教學內容，總結形成有效的“招式”，引領學生學會靈活解決向量的平移、伸縮、合成、分解等變換問題，正確地進行有效運算，深化對向量的本質認識，領會蘊含的數學思想和方法，逐步培養起善于運用解題方法來分析解決向量有關問題的能力和素質[1]。筆者通過教學實踐摸索，對教材進行歸納總結，節選某些數學向量章節教學案例，形成向量解題十二招式。現做簡要介紹。

一、向量解題十二招式理論

招式一：“向往自由”，向量是自由的，即向量可以自由平移，但自由是有限的，即向量只能平移[2]。

招式二：“走路規則”，即三角形法則，如從A點 走到B點 ，再從B點 走到C點 ，相當于A從點 走到C點 ，即

招式三：“力的合成”，即平行四邊形法則。在平行四邊形ABCD中，

招式四：“銅（同）頭指被”，兩個向量相減，一要同起點，二要指向被減數。

招式五：“平行——藍菲靈”，向量與非零向量平行，等價于平行，意為一起走；藍菲靈，意為女子，音為藍，乘以菲靈（非零向量）。當λ＞0時向量與向量同向，當λ＜0 時向量與向量反向。

招式六：“雞爪理論”，向量不共線，是一組基底，形如雞爪，則平面內的任一向量可以表示為的線性組合，即其中λ,μ是唯一的。

招式七：“做功”，即

招式八：“說誰就是誰”，向量在向量方向上的投影為其中θ為向量與向量的夾角。

招式九：“揪住尾巴向前減”，則字母B是尾巴。

招式十一：“看到夾板就轟炸”，求的值，可用公式冪指數2形如轟炸機。

招式十二：“ 平 行 閃出強盜”，平行，意為四個人一起走，閃出強盜，意為遇上強盜，等價于

二、向量解題實踐

學生妙用以上十二個向量解題招式，來解決向量實際問題，可以達到事半功倍的成效。

例1 .求

分析：要求用招式二“走路規則”，即得

例2 .在ΔABC中，點M為BC邊靠近點B的三等分點，設用表示

分析：在ΔABC中，要用表示先用招式二“走路規則”，可得而用招式五“平行——藍菲靈”，可得要求用招式四“銅（同）頭指被”，可得故這個結論即為招式六“雞爪理論”。

分析：要求用招式十一“看到夾板就轟炸”，由得

例4 .已知當k為何值時：（1）垂直？（2）平行？平行時它們是同向還是反向？

分析：已知要求當k為何值時：

（1）垂直，因為用招式十“兵對兵來將對將”，即可得解得

（2）平行，用招式十二“平行閃出強盜”。即等價于可得解得用招式五“平行—藍菲靈”，向量與非零向量平行，等價于得知平行，平行時它們是反向。

例5.平面向量點X為直線OP上動點。（1）當取最小值時，求的坐標。（2）當點X滿足（1）中條件和結論時，求cos∠AXB的值。

分析：（1）向量可得直線OP方程點X為直線上OP動點，取最小值，要求的坐標，點X為直線OP上動點，可設X(2t,t)，向量用招式九“揪住尾巴向前減”，可得用用招式十“兵對兵來將對將”，可得當t=2時，即時，取最小值。

（2）當點X滿足中條件和結論時，可得要求cos∠AXB的值，用 招式七“ 做功”，即可得

例6.已知求向量在向量方向上的投影。

分析：要求向量在向量方向上的投影，用招式八“說誰就是誰”，即向量在向量方向上的投影為可得

結 語

總之，師生一起巧用“招式”，優化向量教學，對促進課堂效果、提升學生解決問題的能力都產生積極的影響。只要教師堅持從教學實際出發，從學生激發學習興趣的角度去設計更多更有效的向量教學“招式”，我們的數學課堂必將更加生動有趣。

[1]中華人民共和國教育部.全日制普通高中數學新課程標準[S].北京：北京師范大學出版社，2007.

[2]李艷.新課改下高中數學向量的教學研究[D].大連：遼寧師范大學，2014.

[3]姬梁飛.高中數學向量研究之芻議[J].貴州師范學院學報，2016，32(6)：71-74.