數學是符號的樂園
——淺析符號意識的發展與培養

衛林靈

（江蘇省南通市實驗小學，江蘇南通 226001）

引 言

有人問小學數學是學習什么？借用華應龍的話來說，就是用符號在一個樂園里開展各項活動。數學的學習離不開符號，對它的體會和應用貫穿于整個小學數學的學習過程。從幼兒咿呀學語開始認識的“1、2、3……”數字符號，乃至“＋、－、×、÷、＝、＞、＜、△、○……”符號，直至用字母符號來表示數。可以說，符號與數學有著緊密的聯系。下面，筆者將圍繞這三個問題進行簡略的介紹和說明，希望能拋磚引玉，獲得更多的啟發。

一、追根溯源，挖掘數學符號產生的過程

數學符號的歷史是伴隨著人類抽象能力的發展而展開的。從1根小棒、1個蘋果、1本書等有共同點的東西中，可以提煉出數字1來；同樣，從2根小棒、2個蘋果、2本書……中可以抽象出2來。這樣就可以抽象出1、2、3……自然數，這些自然數就是一類數字符號。這些數字符號簡明、抽象、準確、清晰，非常便于數量的記錄和表達。數學教材的編排也一定程度上還原了人類對數字符號的抽象過程。例如，蘇教版數學一年級《認識10以內的數》。學生充分感受和經歷了數學符號的抽象和產生過程。

師：仔細觀察，你在圖中發現了什么？

生：有1個小朋友拉風琴，有2盆花，3個小朋友在跳舞，4個氣球，黑板上有5顆星星。

師：真棒！想一想，你有什么辦法把剛才的發現記錄下來？

生1：把人和物體依次畫下來……

生2：用一個小圓片來代表一個人或物體……

生3：用數字來表示……

師：是的，我們有多種方式來表達圖中的信息。你們覺得用哪種方式來表達最簡單？

生：數字！

師：一個拉風琴的小朋友，一個圓片，用數字“1”來表示。

兩盆花，兩個圓片，用數字“2”來表示。

……

孩子們，“1”還可以表示什么？

生1：1只兔子；生2：1個蘋果；生3：1本書；生4：1座房子……

師：（小結）孩子們，這個“1”可真了不起。它可以表示好多東西呀！不過它們都有一個共同點，數量都是1。

那么2、3、4、5呢？

……

學生從情境圖出發，由具體事物對象—圖形—數字符號，體現了數字1～5抽象概括的過程。此外，在數的領域，有自然數展開的分數、小數和負數等，都是為了滿足生產和生活的需要而創造出來的各種數學符號，它們豐富了數的內容。然而，人類抽象的能力并未就此止步。數字的一一對應性，在表示數量或數量關系的一般規律上產生了局限性，引發了數學史上的第二次飛躍，即用字母表示數或數量關系[2]。這一飛躍，敲開了代數學的大門。

二、統一通用，理解數學符號的工具意義

使用統一的數學符號意義重大。符號的優點，筆者在前文已經有所表述，它的抽象性、明確性、可操作性、簡略性和通用性等，為數學界的研究和交流提供了便利的工具。數學的三個基本思想，即抽象、推理和模型思想透過數學符號得到了充分的體現。正如秦統一六國的歷史意義。通用的數學符號就是數學的流通語言，而這種語言非常精簡，也許一頁紙就能囊括所有。從徐品方等著的《數學符號史》一書看，初、高等數學中常見的數學符號有200多個（不包含數字），其中常用的僅100多個。這些數學符號構建了整個數學樂園。但是要想進入這個數學樂園，就得理解數學符號的意義，這是數學學習的基本要求。

例如，對“＝”的認識。它的意義有兩大方面，一是表示“運算結果”，二是表示“等價關系”。在一年級上學期，學生通過數的比較大小，首次接觸了等號；而后，在加減法中初步認識了一道算式的運算可以用等號表示“得到”結果。然而，隨著學習進程的展開，學生對等號的理解產生了誤區，偏重“得到”而忽略了“等價”。這直接導致了7＋8=15-3=12這類錯誤的出現。學生缺乏對等號“等價關系”的認知提升，又會使他們在學習“恒等式”和“方程”的初期遭遇思維的障礙。此時，數學符號的工具意義就無法充分體現，所以教材會用“天平”的圖像來處理方程學習中的困境。

三、內生需求，培養數學符號的運用意識

事實上，學生在進入數學學習后，已經在普遍使用數學符號了，只是日用而不知。從《義務教育數學課程標準（2011年版）》對符號意識的具體表述可見，對于符號意識的培養要求，不僅是要讀懂會用，還要具備主動運用符號進行思考的思維方式。發展用符號表達和運算、推理的能力。數字、字母、圖形、關系式等構成的數學符號系統內容豐富，給符號的運用提供了豐富的資源。

到了第二學段，要重視“用字母表示數”的教學，這部分內容具有承前啟后的重要意義。因為，在掌握了用字母表示數以后，學生在認知上將突破數字表示數的局限性，從而把握用字母表示數的普遍性。理解用字母表示數的意義，是學習代數的關鍵，也是后面學習代數式、方程、函數等的前提條件。然而這一過程是漫長而困難的，需要經歷大量的活動，使學生在具體情境中內生性地產生運用符號意識的需求。

柳小梅老師執教的“用字母表示數”一課，創造性地采用“數學魔盒”的方式大獲成功。她讓學生在游戲中明確：用字母表示的數是已經學過的所有數，不局限于某個具體的數或是整數。也為后面用含有字母的式子表示結果同時還可以表示數量之間的關系做好鋪墊。然后，無論是年齡問題、行程問題，還是數青蛙，都是讓學生體會到運用字母表示數的必要性和符號表示的意義。循序漸進中，學生體會到，用字母不僅可以表示數，還可以表示一種關系和一種規律，為他們今后主動運用符號意識進行思考做了充分的演練。

結 語

可以說，沒有符號，就沒有現代數學。符號的產生與發展，伴隨著整個數學的發展歷史。符號對于數學的意義不亞于語言對于人類的重要性。對學生符號意識的培養任重而道遠，因為他們決定了未來數學樂園的繁榮與發展。作為教師，更應該加強主動運用符號意識進行思維的能力，不斷設計有價值的問題促進兒童學生數學素養的發展。