數(shù)形結(jié)合在小學數(shù)學解決問題中的運用

劉希 李玉英

摘要：數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學，數(shù)與形是數(shù)學的基本研究對象，數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合是小學數(shù)學教材編排的重要原則，也是小學數(shù)學教材的一個重要特點，更是解決問題時常用的方法。它包含“以形助教”、“以數(shù)解形”和“數(shù)形互譯”三個方面。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；解決問題；小學數(shù)學

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2018）28-0128-01

1.數(shù)形結(jié)合思想的概念

所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的思想。數(shù)形結(jié)合思想是一種可使復雜問題簡單化、抽象問題具體化的常用的數(shù)學思想方法，具體地說就是將抽象的數(shù)學語言與直觀圖形對應起來，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來，通過“數(shù)”與“形”之間的對應和轉(zhuǎn)換來解決數(shù)學問題。

2.數(shù)形結(jié)合的三種應用方式

一般來說，數(shù)形結(jié)合的應用方式主要有三種類型：以數(shù)化形、以形變數(shù)和數(shù)形結(jié)合。

2.1 以數(shù)化形。由于“數(shù)”和“形”是一種對應的關(guān)系，“數(shù)”比較抽象，而“形”具有形象，直觀的優(yōu)點，能表達較多具體的思維。在低年級教學中，我們常常會把數(shù)的認識與計算通過形（學具）的演示，讓學生初步建立起數(shù)的概念，認識數(shù)、學習數(shù)的加減乘除法；而高年級有些數(shù)量也較復雜，我們難以把握，于是就可以把“數(shù)”的對應——“形”找出來，利用圖形來解決問題。畫線段圖的方法是每一個數(shù)學老師都把它當作學生學習數(shù)學的一項基本技能加以訓練的，大家都知道，在教學應用題時，常可以借助形象的畫線段圖的方法，將問題迎刃而解。特別是行程問題的應用題，老師們總是不忘借助線段圖進行講解。

2.2 以形變數(shù)。雖然形有形象、直觀的優(yōu)點，但在定量方面還必須借助代數(shù)的計算，特別是對于較復雜的“形”，不但要正確的把圖形數(shù)字化，而且還要留心觀察圖形的特點，發(fā)掘題目中的隱含條件，充分利用圖形的性質(zhì)或幾何意義，把“形”正確表示成“數(shù)”的形式，進行分析計算，最典型的就是二年級教材中的“點圖與數(shù)”，那正方形點圖所表示的就是每行與每列的圓點個數(shù)都相同，寫成算式是兩個相同的因數(shù)，于是它們的乘積就是平方數(shù)；由此在高年級拓展三角形數(shù)時有這么個小故事：古希臘畢達哥拉斯學派認為“萬物皆數(shù)”，他們常把數(shù)描繪成沙灘上的點子或小石子，根據(jù)點子或小石子排列的形狀把整數(shù)進行分類，如：1、3、6、10、……這些數(shù)叫做三角形數(shù)。

2.3 形數(shù)互變。形數(shù)互變是指在有些數(shù)學問題中不僅僅是簡單的以數(shù)變形或以形變數(shù)，而是需要形數(shù)互相變換，不但要想到由“形”的直觀變?yōu)椤皵?shù)”的嚴密，還要由“數(shù)”的嚴密聯(lián)系到“形”的直觀。解決這類問題往往需要從已知和結(jié)論同時出發(fā)，認真分析找出內(nèi)在的形數(shù)互變。一般方法是看形思數(shù)、見數(shù)想形。實質(zhì)就是以數(shù)化形、以形變數(shù)的結(jié)合。例如，“近似數(shù)”一課中，讓學生掌握用“四舍五入法”求一個數(shù)的近似數(shù)是本節(jié)課的教學重點。通常我們會直接告訴學生“四舍五入法”這一概念，然后通過大量的練習強化求近似數(shù)的方法。那么我們不妨反思：學生做對了是否表明學生已經(jīng)很好地理解了“四舍五入法”的含義呢？是否有部分學生的解題活動完全建立在對概念的機械模仿上呢？事實上，這種機械模仿的情況是客觀存在的。如何幫助學生從本質(zhì)上理解“四要舍、五要入”的意義呢？我們可以想到把直觀的數(shù)軸引進這節(jié)課，在數(shù)軸上找最近的路，把四舍五入放到數(shù)軸上展開學習，利用數(shù)形結(jié)合幫助學生建立一個形象的數(shù)學模型，從而加深了學生對“四舍五入法”的理解。又如在解決問題過程中，經(jīng)常要用到“數(shù)”與“形”互譯的數(shù)形結(jié)合思想，即把問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)譯成圖形，把抽象的數(shù)量關(guān)系形象化，再根據(jù)對圖形的觀察、分析、聯(lián)想，逐步譯成算式，以達到問題的解決。最常用的如“雞兔同籠”一課：雞兔同籠，有10個頭、28條腿，雞、兔各幾只？本課的解決問題教學策略書上采用列表嘗試法。如果采用數(shù)形互譯的畫圖法解，二年級的學生都能解答，并且可以從畫圖法引出數(shù)量關(guān)系，列式解答。有幾個頭就畫幾個圓（表示動物的頭），然后每個頭下加兩條腿（表示雞有兩條腿），剩余幾條腿就再添在小動物身上，每個添2條（原來的雞就變成了兔）。這樣從圖上可知兔有4只，雞有6只。引導學生理解數(shù)量關(guān)系：首先假設(shè)10只全是雞，每只雞身上長2條腿，共10×2=20（條）腿，還剩余28-20=8（條）腿，雞身上再長2條腿變成兔子，直到8條腿長完為止。這樣就得到兔子有8÷（4-2）=4（只），雞有10-4=6（只）。而對高年級學生借助于畫示意圖來分析數(shù)量之間的關(guān)系，是我們經(jīng)常使用的辦法。由此不難看出：“數(shù)”“形”互譯的過程，既是問題解決的過程，又是學生的形象思維與抽象思維協(xié)同運用、互相促進、共同發(fā)展的過程。由于抽象思維有形象思維作支持，從而使解法變得十分簡明扼要且巧妙。所以，在小學數(shù)學教學中，數(shù)形結(jié)合能不失時機地為學生提供恰當?shù)男蜗蟛牧希梢詫⒊橄蟮臄?shù)量關(guān)系具體化，把無形的解題思路形象化，不僅有利于學生順利的、高效的學好數(shù)學知識，更有利于學生學習興趣的培養(yǎng)、數(shù)學思維的發(fā)展、知識應用能力的增強，使教學收到事半功倍之效。

數(shù)形結(jié)合是小學階段的一個重要手段，而這一手段對學生們今后在初、高中的學習構(gòu)建空間思維起著關(guān)鍵作用。相信只要不斷激發(fā)學生的興趣，啟迪學生的動機，就能夠有效地增強學生的邏輯思維能力和空間想象能力。巧妙地滲透、應用數(shù)形結(jié)合思想，既能為小學數(shù)學教學開辟一片廣闊的天地，又能為學生的終身學習和可持續(xù)發(fā)展奠定扎實的基礎(chǔ)。

參考文獻：

[1] 文志君.數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學教學中的應用[J].考試周刊，2009.

[2] 夏志新.“數(shù)形結(jié)合”就是妙[J].新課程改革與實踐，2010.