古代代數學之父

林革

丟番圖（約246～330），古希臘著名數學家，他對代數學的發展起到了極其重要的奠基作用，被譽為“古代代數之父”。希臘數學自畢達哥拉斯學派后，研究的主流在于幾何論證，甚至一切代數問題都被納入了幾何的模式之中。直到丟番圖，才把代數真正從幾何的羈絆中解放出來，成為一門獨立的學科。

別出心裁的墓碑題

對于丟番圖的生平，人們知之甚少。唯一的簡歷是從《希臘詩文集》中所得。這本由古希臘語法學家麥特羅爾所輯的著作中，記錄有46首和代數問題有關的短詩，其中就包括數學愛好者津津樂道的“丟番圖的墓碑題”。由于《希臘詩文集》是公元500年前后的遺物，加上史學家對一些學者書信著作中相關信息的研判，大致可以推斷出丟番圖生活于246～330年。

這道有趣的墓碑題，用詩歌的形式巧妙、含蓄地敘述了丟番圖的一生：過路的人啊！這里埋葬著丟番圖，請計算下列數目，便可知他一生經過了多少個寒暑。他生命的16是幸福的童年；又過了一生的112，他的兩頰長出了細細的胡須；再過了一生的17，他結婚建立了幸福的家庭；婚后5年有了可愛的兒子，可惜兒子的壽命只有父親的一半；晚年喪子真是可憐，兒子死后，老人在悲痛中度過4年就與世長辭。請你算一算，丟番圖活到幾歲，才與死神見面？

要想知道丟番圖活到多大歲數，就得解答這則數學謎語。用現代數學的思路分析解答并不困難，常規策略仍是按量率對應的分數應用題，或假設未知數的方程思路解答，具體步驟不作贅述，留給有興趣的讀者探究。在此僅介紹一種另辟蹊徑、別具一格的當代巧解。

題目中提到，“丟番圖生命的16是幸福的童年”“又過了生命的112”和“再過了一生的17”，由此可知，丟番圖的年齡既是6的倍數，又是12的倍數，還是7的倍數，因為12的倍數自然就是6的倍數，這就說明，丟番圖的年齡是12和7的公倍數，即可能是84、168、252……根據生活常識，人的壽命目前不可能達到168歲乃至252歲……因此，滿足要求的只有一種可能，即丟番圖活到了84歲。

不難看出，這種解題技巧極為簡潔實用，迅速摒棄了無關信息，一下子抓住題目的關鍵，運用簡單的數學知識和生活經驗，方便快捷地解決了問題。當然，考慮到古希臘的數學背景和基礎，無論常規思路還是巧妙策略都無從談起，因此，這道別出心裁的“墓碑題”被作為難題記錄和傳播并不足為奇。

代數學和《算術》

丟番圖對代數學的發展起到了極其重要的作用，他所撰寫的《算術》就是一部劃時代的著作，在數學史上的地位可與《幾何原本》相提并論，他本人因而獲得“古代代數學之父”的美譽。其中的數學觀對后來的數論學者影響巨大，以其名命名的“丟番圖方程”（不定方程），至今仍是數論研究的重大課題。《算術》這本著作討論了一次、二次以及個別的三次方程，還有大量的不定方程。現在對于具有整數系數的不定方程，如果只考慮其整數解，這類方程就叫作丟番圖方程，它是數論的一個分支。不過丟番圖并不要求解答是整數，而只要求是正有理數。

從另一個角度看，《算術》一書也可以歸入代數學的范圍。代數學區別于其他學科的最大特點是引入了未知數，并對未知數加以運算。就引入未知數、創設未知數的符號以及建立方程的思想（雖然未有現代方程的形式）這幾方面來看，丟番圖的《算術》完全可以算得上是代數學。

《算術》共有13卷，但15世紀發現的希臘文本僅有6卷。1973年，人們在伊朗境內的馬什哈德又發現了4卷阿拉伯文的，這樣一來，現存的《算術》只有10卷，共收集了290個有趣的問題。每道題都有出人意料的巧妙解法，這些解法開動人的腦筋，啟迪人的智慧，以至后人把這類題目叫作丟番圖問題。

美中不足的是，在五花八門、精彩紛呈的解題方法中，丟番圖沒有著力探究一般性的解法或解法之間的關聯。

《算術》具有東方色彩，用純分析的角度處理數論問題。這是希臘算術與代數的最高途徑。它傳到歐洲的時間較晚。16世紀，胥蘭德翻譯出版了拉丁文《算術》。其后，巴歇出版了經他校訂的希臘文-拉丁文對照本，這使得費馬走向近代數論之路，他在這個本子上寫了許多批注，包括著名的費馬大定理。

希臘數學自畢達哥拉斯學派后，興趣中心在幾何，他們認為只有經過幾何論證的命題才是可靠的。為了邏輯上的嚴密性，代數也披上了幾何的外衣。一切代數問題，甚至簡單的一次方程的求解，也都被納入了幾何的模式之中。直到丟番圖出現，才把代數解放出來，完全脫離了幾何的限制。丟番圖認為，代數方法比幾何的演繹陳述更適宜于解決問題，因而在解題過程中顯示出高度的巧思和獨創性，在希臘數學中獨樹一幟。

獨具匠心的假設

丟番圖對算術理論有著深入和獨特的研究，以解題技巧高超著稱。下面介紹的就是丟番圖巧妙解題的一則小故事。

丟番圖有一位得意門生名叫帕普斯，他從很小的時候起就跟隨丟番圖學習數學。一天，帕普斯遇到一個難題：有4個數，把其中每3個數相加，其和分別為20、22、24和27，求這4個數。

這個問題看起來簡單，解答起來卻比較繁瑣。因為題中有4個未知數，按照通常列方程解應用題的方法，必須設出4個未知數，列出4個方程，得到一個4元一次方程組，然后再解方程組。

于是他設4個數分別為x、y、g、t，則依題意得方程組（如左圖），可在具體求解時他被這個方程組搞得昏頭昏腦，陷在算式的沼澤里無法自拔。在當時相對落后的文化背景和數學工具的限制下，帕普斯束手無策也在情理之中。無奈之下，他只得向老師請教，詢問能否用簡便的方法解答這個問題。丟番圖看后笑著回答：“行啊！行啊！”隨即給出了一個極為簡單的解法。

丟番圖也是假設未知數列方程解答，只是他的設法出人意料、一反常規，不去詳細分設4個未知數，而是假設這4個未知數之和為x。于是，這4個數就分別為x減去其余3個數之和，即分別為x-20、x-22、x-24和x-27。由此可列方程：（x-20）+（x-22）+（x-24）+（x-27）=x解得：x=31，最終得出這4個數分別為11、9、7和4。

老師的解答讓帕普斯茅塞頓開，心悅臣服的他從此堅定了畢生從事數學研究的決心，并最終成為一位著名的數學家。

從上面的故事不難看出，丟番圖的解答巧妙之處在于，他沒有糾纏在常規思路中，而是采用變通思維進行處理，這充分體現了丟番圖作為數學家善于打破思維定勢的能力。

巧思妙解和發現

由此不難發現，丟番圖擁有過人的數學眼光和高深的數學造詣。

意義深遠的貢獻

丟番圖一直推崇并認為代數方法比幾何的演繹陳述更適宜解決問題，在解答過程中更能顯示出數學智慧和機巧。比如（a+b）2=a2+2ab+b2在歐幾里得的《幾何原本》中是一條重要的幾何定理，而在丟番圖的《算術》中只是簡單代數運算法則的必然結果，因此，充分體現丟番圖數學思想的《算術》幾乎就是純粹的代數著作。代數由此自成體系，這也是丟番圖對人類文明做出的巨大貢獻。

根據符號使用的情況，代數學可以分為三類：文詞代數（完全用文字來敘述而不用符號）、簡字代數以及符號代數（除個別地方，一切全用符號表示）。丟番圖構建了代數學的雛形，也創設了一些符號，而問題的敘述仍然主要采用文字，和現代的符號代數相去甚遠，可算是較為原始的簡字代數。

丟番圖所處理的問題大部分是多元的，但他只設一個未知數，相當于現在的x，遇到多個未知數時仍用同一符號，而和x2、x3、x4、x5等相當的各次冪，又都有專門的名稱和符號，這使得其計算過程非常繁瑣晦澀。為了避免混淆，人們不得不運用高度的技巧，這常常使方法失去普遍性。但不可否認，丟番圖創設符號仍是代數學的一大進步。

除此之外，丟番圖的思想和發現對后世數學家研究數論影響深遠。比如前面提到4個數中“任何兩數之積再加上1，竟然仍是一個分數的平方”，雖然丟番圖給出了答案，但有關這個問題的研討和探索并沒有結束。有數學家對此提出延伸設想：“存不存在4個整數也具有類似的性質呢？”因為在人們的思維定勢中，在整數范圍內討論探究似乎更有必要。基于這樣的思路，17世紀法國數學家費馬最終發現：整數1、3、8和120也具有上述特性，即其中任兩數的乘積加上1都是完全平方數。1×3+1=4=22，1×8+1=9=32，1×120+1=121=112，3×8+1=25=52，3×120+1=361=192，8×120+1=961=312，結論驗證起來毫不費力，但要在浩瀚的數海中尋找并確定這幾個數，絕非易事。這個無獨有偶的圓滿結局，也印證了“提出一個問題有時比解決一個問題更重要”的深刻性。

盡管丟番圖謎一般的生平模糊不清，但他對數學的貢獻毋庸置疑，“古代代數之父”的地位不可動搖。對于這位古希臘杰出的數學家，我們理應心懷敬意，銘記于心。