高職“邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)”教學(xué)手記

【摘要】高職院校邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的教學(xué)，是個(gè)難點(diǎn)。如果在教學(xué)中注意循循善誘，引導(dǎo)學(xué)生積極參與適時(shí)總結(jié)，將會(huì)收到滿意的教學(xué)效果。

【關(guān)鍵詞】常用運(yùn)算律；一題多解；卡諾圖

邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的意義是節(jié)省集成電路數(shù)目，焊接點(diǎn)減少，還可大大提高電路的可靠性。

在實(shí)際問題中，往往首先將電路化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)與或式，用代數(shù)法化簡(jiǎn)的過程中，還常用到普通代數(shù)的提取公因式法、分組法、去括號(hào)法等，有時(shí)還根據(jù)需要利用公式進(jìn)行添加項(xiàng)后，再進(jìn)行分組化簡(jiǎn)。在邏輯運(yùn)算基本公式中，我們應(yīng)當(dāng)牢記以下幾個(gè)常用結(jié)論。

①零律1+A=1，O·A=O。

②冪等律A+A=A，A·A=A。

③排中律和矛盾律。

④D·摩根律。

⑤兩個(gè)吸收律A+AB=A+B，AB+AC+BC=AB+AC。

例化簡(jiǎn)F=AB+C+ACD+BCD

解一F=AB+C+C（A+B）D（提取公因式）

=AB+C+（A+B）D（吸收律）

=AB+ABD+C（反演律）

=AB+D+C（吸收律）

解二F=（AB+ACD+BCD）+BCD+C（吸收律）

=AB+CD+C（提取公因式）

=AB+D+C（吸收律）

解三F=AB+（C+ACD）+（C+BCD）

=AB+C+AD+C+BD（吸收律）

=（AB+AD+BD）+C+BD（吸收律）

=AB+AD+D+C（提取公因式）

=AB+D+C（提取公因式）

由上述例題看出，代數(shù)法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)，既需要牢記一些公式，又帶有技巧性，掌握起來比較困難，但作為數(shù)字電路化簡(jiǎn)的一個(gè)基本工具，還是應(yīng)該掌握一些常用的代數(shù)化簡(jiǎn)法。對(duì)多變量函數(shù)的化簡(jiǎn)，相對(duì)代數(shù)化簡(jiǎn)法，卡諾圖法要容易得多。

我們知道，凡兩個(gè)邏輯相鄰項(xiàng)可合并成一項(xiàng)，按照這個(gè)規(guī)律，可以把邏輯函數(shù)中的各個(gè)最小項(xiàng)用圖形表示出來，這種圖就叫卡諾圖。需要強(qiáng)調(diào)的是，為了符合相鄰原則，兩個(gè)邏輯變?cè)ɑ蚱浞穸ǎ┑某朔e的排列順序必須是00、01、11、10，這樣排列就保證了縱橫相鄰小方格里的最小項(xiàng)都是相鄰的。

因?yàn)榭ㄖZ圖的每一個(gè)小方格都唯一地對(duì)應(yīng)一個(gè)最小項(xiàng)，所以要用卡諾圖來表示某邏輯函數(shù)，應(yīng)該先將函數(shù)表達(dá)式化成最小項(xiàng)之和（主析取范式）。這比較麻煩。如果函數(shù)表達(dá)式已經(jīng)是析取范式，則可以快速填寫卡諾圖。

例填寫函數(shù)F=A·B+AC+BC+B·C·D的卡諾圖。

解由變量及知道，這是一個(gè)四變?cè)瘮?shù)。

由第一項(xiàng)A·B知道，它與C、D無關(guān)，可以寫作A·Bxx，在對(duì)應(yīng)A·B=00的所有小格內(nèi)（第一行四個(gè)小方格）填入1。由第二項(xiàng)AC知道，它與B、D無關(guān)，可以寫作A×c×，即在所有既符合A=1又符合C=1的格內(nèi)填入1即可，即在下邊兩行（11、10行）符合A=1，右邊兩列（11、10列）符合C=1，因而應(yīng)在右下角這兩行和兩列交叉的四個(gè)格內(nèi)填入1。

由第三項(xiàng)BC知道，它與A、D無關(guān)，可以寫作×BC×，在既符合B=1（01、11兩行）又符合C=1（11、10兩列）的交叉方格內(nèi)填入1即可。由第四項(xiàng)B·C·D知道，它與A無關(guān)，可以寫作×B·C·D，在卡諾圖中0000格和1000格內(nèi)填入1即可。至此可得到函數(shù)F的卡諾圖。剩下未填入1的格內(nèi)應(yīng)為。，這里省去是為了使卡諾圖更加清晰。

用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的一般步驟：

①確定變?cè)膫€(gè)數(shù)，畫出相應(yīng)的卡諾圖，并把函數(shù)F表達(dá)式中的相應(yīng)項(xiàng)填入1，其余小方格內(nèi)填入。或者省去不填。

②對(duì)卡諾圖中有“1”的方格畫相鄰區(qū)域圈，畫圈時(shí)要按2、4、8、16格為單位，遵循的原則是：圈越大越好，這樣各與項(xiàng)中所含變?cè)驮缴伲蝗Φ目倲?shù)越少越好，與項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)就越少。

③將每個(gè)圈中的公有變?cè)蜃诱页鰜恚玫綄?duì)應(yīng)的“與”項(xiàng)，并把各個(gè)圈得到的與項(xiàng)相加（或）起來，便得到化簡(jiǎn)后的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式（主析取范式）。

具體操作時(shí)，要特別注意四角相鄰、左列與右列相鄰、頂行與底行相鄰。首先將與其他任何“1”方格都不相鄰的孤立“1”方格單獨(dú)圈出來；其次找出那些僅與另一個(gè)“1”方格唯一相鄰的"1”方格，將它們兩兩相圈組成含有兩個(gè)“1”方格的相鄰區(qū)域；最后，再依次將含有四個(gè)“1”方格、八個(gè)“1”方格的相鄰區(qū)域畫出來。

在畫相鄰區(qū)域時(shí)，有些“1”方格可以被多個(gè)圈公用，這種區(qū)域間的重疊現(xiàn)象是允許的，但每個(gè)圈中必須含有至少一個(gè)新“1”，即別的圈中都未包含進(jìn)去的1。這樣做，就可以避免在化簡(jiǎn)后的函數(shù)中出現(xiàn)多余項(xiàng)，使化簡(jiǎn)后的與或表達(dá)式為最簡(jiǎn)形式（主析取范式）。 例化簡(jiǎn)F=∑（0，1，2，3，4，5，6，8，9，10，11，12，13，14）

解這是個(gè)四變?cè)瘮?shù)，其卡諾圖如圖所示。可畫出三個(gè)圈分別如圖（a）、（b）、（c）所示，仔細(xì)檢查，每個(gè)圈中都包含有至少一個(gè)其他兩個(gè)圈未包括進(jìn)去的新1，故沒有多余的圈。

圖（a）圈中八個(gè)最小項(xiàng)的公共部分為D；圖（b）圈中八個(gè)最小項(xiàng)的公共部分為C；圖（c）圈中八個(gè)最小項(xiàng)的公共部分為B，因而該函數(shù)化簡(jiǎn)結(jié)果為F=B+C+D。

參考文獻(xiàn)：

[1]王信峰.計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].高等教育出版社，2009.

[2]許智勇.如何讓高職數(shù)學(xué)課生動(dòng)起來[J].河南教育旬刊，2011（6）.